Bisettrice dell'angolo esterno e proporzioni

La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo, se non è parallela al lato opposto, ne incontra il prolungamento in un punto che determina con gli estremi di quel lato segmenti proporzionali agli altri due lati
 
Sia $ABC$ un triangolo qualsiasi. Indicato con $D$ il punto di intersezione tra la bisettrice dell'angolo esterno $C\hat{A}F$ con il lato prolungamento del lato opposto $BC$, dimostriamo che $$BD:CD = AB:AC$$; 
 
bisettrice angolo esterno
 

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mbox{IPOTESI:}\quad\begin{array}{l} 1)\ ABC \ \mbox{triangolo qualsiasi}\\ 2) C\hat{A}D \cong D\hat{A}F \end{array}\quad\Rightarrow\quad\mbox{TESI:}\quad\begin{array}{l} BD:CD = AB:AC \end{array}}$$

Per dimostrare la tesi, tracciamo dal vertice $C$ la parallela alla bisettrice $AD$ ed indichiamo con $E$ il punto di intersezione di tale parallela con il lato apposto $AB$. Le rette parallele passanti per $EC$ e $AD$ saranno tagliate sia dalla trasversale $AC$, la quale determina gli angoli $E\hat{C}A \cong C\hat{A}D$ alterni interni congruenti, e sia dalla trasversale $FB$, la quale determina gli angoli $A\hat{E}C \cong F\hat{A}D$ corrispondenti congruenti.

D'altra parte, poichè $AD$ è bisettrice dell'angolo esterno $F\hat{A}D$ allora si avrà anche $C\hat{A}D \cong D\hat{A}F$. Dal confronto delle suddette congruenze, si avrà anche che $$A\hat{E}C \cong E\hat{C}A$$cioè il triangolo $EAC$ risulterà isoscele e, in quanto tale, si avrà che $AE \cong AC$.

Considerando, adesso, il triangolo $ABD$ taglaito dalla trasversale $EC$ (parallela al lato $AD$) ed applicando ad esso il corollario del Teorema di Talete, possiamo affermare che essa (cioè la trasversale $EC$) divide i due lati a cui non è parallela in parti proporzionali, cioè:$$BD:CD= BA:EA$$ma poichè $EA \cong AC$ per quanto dimostrato precedentemente, si avrà $$BD:CD = AB:AC$$

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.