Teorema della bisettrice dell'angolo interno

La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
 
Sia $ABC$ un triangolo qualsiasi. Indicato con $D$ il punto di intersezione tra la bisettrice dell'angolo interno $A\hat{C}B$ con il lato opposto $AB$, dimostriamo che $$AD:DB = AC:BC$$; 
 
bisettrice angolo interno
 

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mbox{IPOTESI:}\quad\begin{array}{l} 1)\ ABC \ \mbox{triangolo qualsiasi}\\ 2) A\hat{C}D \cong D\hat{C}B \end{array}\quad\Rightarrow\quad\mbox{TESI:}\quad\begin{array}{l} AD:DB = AC:BC \end{array}}$$

Conduciamo dal vertice $B$ la parallela alla bisettrice $CD$ finchè essa incontri il prolungamento del lato $AC$ in un punto $E$. Per la costruzione appena eseguita, quindi, le rette passanti per $CD$ e $BE$ saranno parallele e tagliate dalla trasversale $BC$. Gli angoli $D\hat{C}B$ e $C\hat{B}E$ risulteranno così congruenti in quanto angoli alterni interni, cioè $$D\hat{C}B \cong C\hat{B}E$$

In modo analogo, consideriamo le rette parallele passanti per $CD$ e $BE$ tagliate questa volta dalla trasversale $AE$. Questa, allora, determinerà angoli corrispondenti congruenti: cioè $$A\hat{C}D \cong C\hat{E}B$$

Inoltre, poichè $CD$ è bisettrice, si avrà per ipotesi

$$A \hat{C} D \cong D \hat{C}B$$

Confrontando, così, le ultime tre congruenze si avrà anche che

$$C\hat{B}E \cong C\hat{E}B$$

ovvero il triangolo $BCE$ sarà isoscele in quanto ha gli angoli alla base congruenti. In particolare, esso avrà i lati congruenti, cioè

$$BC \cong CE$$

Consideriamo adesso il triangolo $ABE$ tagliato dal segmento $CD$ parallelo al lato $BE$ del triangolo. Per il corollario del Teorema di Talete, sappiamo che la parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due in parti proporzionali, e quindi

$$AD:DB = AC:CE$$

ma, poichè $BC \cong CE$, l'ultima proporzione diventa

$$AD:DB = AC:BC$$

che era quello che si voleva dimostrare.

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