I criteri di congruenza dei triangoli

Per affermare che due triangoli sono congruenti è necessario dimostrare che essi sono sovrapponibili punto a punto.

Tuttavia esistono tre criteri noti come criteri di congruenza dei triangoli, che permettono di stabilire la congruenza in modo più economico, confrontando fra loro coppie di lati e coppie di angoli e non tutte le coppie di punti che si possono individuare nei due triangoli.

Il primo criterio di congruenza

Se due triangoli hanno congruenti due lati e l'angolo fra essi compreso, allora sono congruenti.

primo criterio di congruenza dei triangoli $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mbox{IPOTESI:}\quad\begin{array}{l} 1)\ AB=A'B'\\ 2)\ AC=A'C'\\ 3)\ \alpha=\alpha '\end{array}\quad\Rightarrow\quad\mbox{TESI:}\quad\begin{array}{l} ABC=A'B'C'\end{array}}$$

Osserviamo che:

    1. il lato A'B' si sovrappone ad AB, per l'ipotesi 1, quindi A' si sovrappone ad A e B' a B;
    2. l'angolo $\alpha '$ si sovrappone all'angolo $\alpha$, per l'ipotesi 3, quindi si sovrappongono le semirette che formano gli angoli di vertici A e A';
    3. il lato A'C' coincide con AC, per l'ipotesi 2, quindi C' si sovrappone a C.

Se C è sovrapponibile a C' quando B si sovrappone a B', il segmento CB è congruente a C'B'. Con analoghe considerazioni si può affermare la sovrapposizione per gli angoli $A\widehat{B}C$ e $A'\widehat{B'}C'$ e per $A\widehat{C}B$ e $A'\widehat{C'}B'$.

Possiamo concludere che i triangoli ABC e A'B'C' sono stati sovrapposti, pertanto sono congruenti.

Il secondo criterio di congruenza

Se due triangoli hanno congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti, allora sono congruenti.

secondo criterio di congruenza dei triangoli $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mbox{IPOTESI:}\quad\begin{array}{l} 1)\ \alpha=\alpha '\\ 2)\ \beta=\beta '\\ 3)\ AB=A'B'\end{array}\quad\Rightarrow\quad\mbox{TESI:}\quad\begin{array}{l} ABC=A'B'C'\end{array}}$$

Il secondo criterio si dimostra con metodo analogo a quello utilizzato per il primo.

Il terzo criterio di congruenza

Se due triangoli hanno congruenti i tre lati, allora sono congruenti.

terzo criterio di congruenza dei triangoli $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mbox{IPOTESI:}\quad\begin{array}{l} 1)\ AB=A'B'\\ 2)\ BC=B'C'\\ 3)\ AC=A'C'\end{array}\quad\Rightarrow\quad\mbox{TESI:}\quad\begin{array}{l} ABC=A'B'C'\end{array}}$$

Disegnamo il triangolo ABC''=A'B'C' congiungendo C con C''.

dimostrazione del terzo criterio di congruenza dei triangoli

Il triangolo ACC'' è isoscele sulla base CC'', perchè $AC=A'C'=AC''$, quindi $A\widehat{C''}C=A\widehat{C}C''$, perchè angoli alla base di un triangolo isoscele.

Anche il triangolo C''BC è isoscele sulla base CC'', perchè $BC=B'C'=BC''$, quindi $C''\widehat{C}B=C\widehat{C''}B$, in quanto anch'essi sono angoli alla base di un triangolo isoscele.

Sommando coppie di angoli congruenti, otteniamo ancora angoli congruenti, quindi $A\widehat{C''}C+C\widehat{C''}B=A\widehat{C}C''+C''\widehat{C}B$, cioè $\widehat{C}=\widehat{C''}$.

I triangoli ABC e ABC'' hanno:

      • $\widehat{C}=\widehat{C''}$
      • $AC=AC''$
      • $BC=BC''$

pertando sono congruenti per il primo criterio.

Essendo $ABC''=A'B'C'$ per costruzione, per la proprietà transitiva concludiamo che $ABC=A'B'C'$.

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