Omotetia

Fissati un punto $O$ nel piano e un numero reale $k\neq 0$, l'omotetia è la trasformazione geometrica che a un punto $P$ fa corrispondere il punto $P'$ tale che $P'$ appartiene alla retta $OP$ e $\frac{OP'}{OP}=k$.

Il punto $O$ è detto centro dell'omotetia e $k$ rapporto di omotetia.

Omotetia

Le equazioni che descrivono un omotetia di centro l'origine $O$ degli assi cartesiani sono:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\begin{cases} x'=kx\\ y'=ky\end{cases}}$$

Nel caso in cui si abbia un'omotetia di centro $C(x_0,y_0)$ differente dall'origine, le equazioni diventano:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\begin{cases} x'=kx+x_0(1-k)\\ y'=ky+y_0(1-k)\end{cases}}$$

Alcuni casi particolari di omotetia:

  • Se $k > 0$ l'omotetia si dice diretta;
  • Se $k < 0$ l'omotetia si dice inversa;
  • Se $k = 1$ si ha una identità;
  • Se $k = -1$ si ha una una simmetria centrale.

 

Si può dimostrare che l'omotetia gode delle seguenti proprietà:

  • in una omotetia di rapporto $k$, a un segmento $AB$ corrisponde un segmento $A'B'$ parallelo ad $AB$ e tale che $\frac{A'B'}{AB}=k$;
  • in una omotetia a ogni angolo corrisponde un angolo congruente;
  • l'omotetia è una similitudine;
  • le rette che passano per il centro di omotetia sono rette unite;
  • se $k\neq 1$ il centro di omotetia è l'unico punto unito.

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