Rotazione

In geometria Euclidea, una rotazione è una isometria che sposta gli oggetti senza deformarli e lasciando fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio.

In altri termini, dato un punto $O$ e un angolo $\alpha$, la rotazione $r_{(O;\alpha)}$ di centro $O$ e angolo $\alpha$ è quella trasformazione che a ogni punto $P$ fa corrispondere il punto $P'$ come in figura:

Rotazione di centro l'origine e angolo theta

Equazioni della rotazione nel piano

Le equazioni di una rotazione di centro l'origine e angolo $\theta$ sono:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{ \begin{cases} x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'=x\sin\theta+y\cos\theta\end{cases}}$$

Esempio

Dopo aver scritto le equazioni della rotazione avente centro nell'origine e angolo di rotazione $\theta=\frac{\pi}{3}$, determina l'equazione della corrispondente in questa rotazione della retta $y=\sqrt{3}x$.

Scriviamo le equazioni di tale rotazione:

$$\begin{cases} x'=x\cos\frac{\pi}{3}-y\sin\frac{\pi}{3}\\ y'=x\sin\frac{\pi}{3}+y\cos\frac{\pi}{3}\end{cases}$$

da cui, facendo i conti:

$$\begin{cases} x'=\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y\\ y'=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y\end{cases}$$

Ricaviamoci le variabili $x$ e $y$ da queste ultime:

$$\begin{cases} \frac{1}{2}x=x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y\\ \frac{1}{2}y=y'-\frac{\sqrt{3}}{2}x\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x=2x'+\sqrt{3}y\\ y=2y'-\sqrt{3}x\end{cases}$$

Sostituiamo in $x$ l'espressione della $y$ e semplifichiamo:

$$\begin{array}{l} x &=2x'+\sqrt{3}(2y'-\sqrt{3}x)\\ x &=2x'+2\sqrt{3}y'-3x\\ 4x &=2x'+2\sqrt{3}y'\\ x &=\frac{x'+\sqrt{3}y'}{2}\end{array}$$

Sostituiamo in $y$ l'espressione della $x$ appena trovata:

$$\begin{array}{l} y &=2y'-\sqrt{3}\frac{x'+\sqrt{3}y'}{2}\\ y &=\frac{4y'-\sqrt{3}x'-3y'}{2}\\ y &=\frac{-\sqrt{3}x'+y'}{2}\end{array}$$

La retta corrispondente a $y=\sqrt{3}x$ nella rotazione si trova sostituendo in essa, le equazioni della $x$ e della $y$ trovate:

$$\begin{array}{l} y =\sqrt{3}x\\ \frac{-\sqrt{3}x'+y'}{2} =\sqrt{3}\frac{x'+\sqrt{3}y'}{2}\\ -\sqrt{3}x'+y' =\sqrt{3}x'+3y'\\ y'=-\sqrt{3}x'\end{array}$$

Scambiando, per comodità, $x'$ con $x$ e $y'$ con $y$, le equazioni della retta ruotata è $y=-\sqrt{3}x$.

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