Simmetria assiale

Fissata una retta $\vec{r}:ax+by+c=0$ nel piano, una simmetria assiale di asse $\vec{r}$ è un'isometria che a ogni punto $P$ del piano associa un punto $P'$ tale che il segmento $PP'$ è perpendicolare all'asse e il punto medio $M$ di $PP'$ appartiene all'asse.

Simmetria assiale

Le equazioni cartesiane di una simmetria assiale si determinano risolvendo il seguente sistema nelle incognite $x'$ e $y'$:

$$\begin{cases} m_{PP'}=-\frac{1}{m_{\vec{r}}}\\ a\frac{x+x'}{2}+b\frac{y+y'}{2}+c=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \frac{y'-y}{x'-x}=\frac{b}{a}\\ a\frac{x+x'}{2}+b\frac{y+y'}{2}+c=0\end{cases}$$

Si ottengono cosi le equazioni della simmetria assiale:

$$\begin{cases} x'=\alpha x+\beta y+\gamma\\ y'=\beta x-\alpha y+\gamma\end{cases}$$

dove $\alpha^2+\beta^2=1$.

Osserviamo che il sistema nel sistema appena risolto, sono presenti le condizioni affinchè si possa avere una simmetria assiale. In particolare, la prima equazione impone la condizione di perpendicolarità tra il segmento $PP'$ e l'asse $\vec{r}$; mentre invece, la seconda equazione impone il passaggio del punto $M\left(\frac{x+x'}{2},\frac{y+y'}{2}\right)$ per l'asse $\vec{r}$.

La simmetria assiale gode delle seguenti proprietà:

  • in una simmetria assiale, l'asse di simmetria è l'insieme di tutti e soli i punti uniti della trasformazione;
  • la simmetria assiale mantiene le relazioni di perpendicolarità e di parallelismo.

Simmetrie rispetto ad assi particolari

Quando siamo ci troviamo di fronte a simmetrie rispetto agli assi cartesiani o rette parallele agli assi cartesiani oppure bisettrici, le equazioni cartesiane si possono ricavare facilmente. Di seguito spieghiamo come.

  • Rispetto l'asse $\vec{x}$ ($y=0$): $$\begin{cases} x'= x\\ y'=-y\end{cases}$$
  • Rispetto l'asse $\vec{y}$ ($x=0$): $$\begin{cases} x'= -x\\ y'=y\end{cases}$$
  • Rispetto ad una retta parallela all'asse $\vec{y}$ ($x=x_0$): $$\begin{cases} x'=-x+2x_0\\ y'=y\end{cases}$$
  • Rispetto ad una retta parallela all'asse $\vec{x}$ ($y=y_0$): $$\begin{cases} x'=x\\ y'=-y+2y_0\end{cases}$$
  • Rispetto alla prima bisettrice ($y=x$): $$\begin{cases} x'=y\\ y'=x\end{cases}$$
  • Rispetto alla seconda bisettrice ($y=-x$): $$\begin{cases} x'=-y\\ y'=-x\end{cases}$$

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