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Metodo di eliminazione di Gauss

Il metodo di eliminazione di Gauss o metodo del pivot permette di risolvere qualsiasi sistema lineare mxn del tipo $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots +a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots +a_{2n}x_n=b_2\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots +a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$$ riconducendolo a un sistema triangolare superiore ossia, $$\begin{cases} a_{11}^{'}x_1 & + & a_{12}^{'}x_2 & + & a_{13}^{'}x_3 & + & \dots & + & a_{1n}^{'}x_n & = & b_1^{'}\\ 0 & + & a_{22}^{'}x_2 & + & a_{23}^{'}x_3 & + & \dots & + & a_{2n}^{'}x_n & = & b_2^{'}\\ 0 & + & 0 & + & a_{33}^{'}x_3 & + & \dots & + & a_{3n}^{'}x_n & = & b_2^{'}\\ & \vdots\\ 0 & + & 0 & + & 0 & + & \dots & + & a_{mn}^{'}x_n & = & b_m^{'}\end{cases}$$

Tale sistema triangolare sarà equivalente a quello dato (ossia avrà le stesse soluzioni), grazie alle proprietà dei sistemi lineari qui annunciate.

Il procedimento da seguire è il seguente:

  1. Per semplicità, consideriamo solo la Matrice completa associata al sistema visto che le modifiche andranno fatte sui coefficienti e non sulle incognite: $$B=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m\end{matrix}\right)$$ scegliamo il primo elemento non nullo della prima colonna, supponiamo $a_{11}\ne 0$ (se $a_{11}=0$, consideriamo $a_{21}$ e cosi via). Tale termine viene scelto come pivot, ovvero come quell'elemento della matrice sotto il quale dobbiamo far apparire $m-1$ zeri (in pratica, tutti gli elementi della matrice $B$ che stanno sotto il termine $a_{11}$ devono diventare zero). Supponiamo che $a_{21}\ne0$ (se $a_{21}=0$, consideriamo l'elemento della successiva posizione $a_{31}$ e cosi via) e calcoliamo il cosiddetto moltiplicatore ossia l'opposto del rapporto tra il termine sotto il pivot $a_{21}$ e il pivot $a_{11}$: $$molt.=-\frac{a_{21}}{a_{11}}$$
  2. Moltiplichiamo la prima riga per il moltiplicatore: $$\begin{matrix} -\frac{a_{21}}{a_{11}} (a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1)=\\ (-\frac{a_{21}}{\cancel{a_{11}}} \cancel{a_{11}} & -\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{12} & \dots & -\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{1n} & -\frac{a_{21}}{a_{11}} b_1)=\\ (-a_{21} & -\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{12} & \dots & -\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{1n} & -\frac{a_{21}}{a_{11}} b_1) \end{matrix}$$
  3. Sostituiamo la seconda riga $R_2$ di $B$ con la somma tra la precedente e $R_1$: $$R_2\to R_1+(-a_{21}\ -\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{12}\ \dots\ -\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{1n}\ -\frac{a_{21}}{a_{11}} b_1)$$ La nuova riga $R_2$ sarà quindi: $$\begin{matrix} (a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2)&+\\ (-a_{21} & -\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{12} & \dots & -\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{1n} & -\frac{a_{21}}{a_{11}} b_1)&=\\ (0 & a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{12} & \dots & a_{2n}-\frac{a_{21}}{a_{11}} a_{1n} & b_2-\frac{a_{21}}{a_{11}} b_1) \end{matrix}$$ Per semplicità di scrittura, riscriviamo la nuova riga $R_2$ nel seguente modo: $$\left(\begin{matrix} 0 & a_{22}^{(2)} & \dots & a_{2n}^{(2)} & b_2^{(2)}\end{matrix}\right)$$ Allora la nuova matrice ottenuta è: $$B^{(2)}=\left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1\\ 0 & a_{22}^{(2)} & \dots & a_{2n}^{(2)} & b_2^{(2)}\\ a_{31} & a_{32} & \dots & a_{3n} & b_3\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m\end{matrix}\right)$$
  4. Ripetiamo gli step 1), 2) e 3) fino a che non arriviamo ad annullare tutti gli elementi sotto il termine pivot. Fatto ciò, ripetiamo i 3 step fino ad annullare tutti i termini sotto l'elemento pivot della seconda colonna e cosi via fino ad ottenere una matrice che ha elementi tutti nulli sotto la diagonale principale. A tal punto, il sistema associato alla matrice ottenuta si presenterà nella forma $$\begin{cases} a_{11}x_1 & + & a_{12}x_2 & + & a_{13}x_3 & + & \dots & + & a_{1n}x_n & = & b_1\\ 0 & + & a_{22}^{(2)}x_2 & + & a_{23}^{(2)}x_3 & + & \dots & + & a_{2n}^{(2)}x_n & = & b_2^{(2)}\\ 0 & + & 0 & + & a_{33}^{(3)}x_3 & + & \dots & + & a_{3n}^{(3)}x_n & = & b_2^{(3)}\\ & \vdots\\ 0 & + & 0 & + & 0 & + & \dots & + & a_{mn}^{(m-1)}x_n & = & b_m^{(m-1)}\end{cases}$$

Il vantaggio di aver ottenuto un sistema triangolare del genere, sta proprio nel fatto che partendo dalla risoluzione dell'ultima equazione fino ad arrivare alla risoluzione della prima tramite successive sostituzioni, possiamo trovarci la soluzione del sistema.

Risoluzione sistema lineare tramite il metodo di eliminazione di Gauss

Mostriamo in maniera pratica come risolvere un sistema lineare tramite l'eliminazione gaussiana prendendo in esame il seguente: $$\begin{cases} 2x+y-2z=10\\ 3x+2y+2z=1\\ 5x+4y+3z=4\end{cases}$$

La matrice completa associata è: $$B=\left(\begin{matrix} 2 & 1 & -2 & 10\\ 3 & 2 & 2 & 1\\ 5 & 4 & 3 & 4\end{matrix}\right)$$

Scegliamo come termine pivot $a_{11}=2\ne 0$; il moltiplicatore di $R_1$ risulta $-\frac{a_{21}}{a_{11}}=-\frac{3}{2}$, quindi: $$\begin{matrix} -\frac{3}{2}(2 & 1 & -2 & 10)=\\ (-3 & -\frac{3}{2} & 3 & -15)\end{matrix}$$

Sommando la riga ottenuta con $R_2$ otteniamo la nuova riga $R_2$: $$\begin{matrix} (-3 & -\frac{3}{2} & 3 & -15) & +\\ (3 & 2 & 2 & 1) & =\\ (0 & \frac{1}{2} & 5 & -14)\end{matrix}$$

Otteniamo cosi la matrice: $$B^{(2)}=\left(\begin{matrix} 2 & 1 & -2 & 10\\ 0 & \frac{1}{2} & 5 & -14\\ 5 & 4 & 3 & 4\end{matrix}\right)$$

Annulliamo il termine $a_{31}=5$ moltiplicando $R_1$ per il moltiplicatore $-\frac{a_{31}}{a_{11}}=-\frac{5}{2}$: $$\begin{matrix} -\frac{5}{2}(2 & 1 & -2 & 10)=\\ (-5 & -\frac{5}{2} & 5 & -25)\end{matrix}$$

e sommando tale riga con $R_3$: $$\begin{matrix} (-5 & -\frac{5}{2} & 5 & -25) & +\\ (5 & 4 & 3 & 4) & =\\ (0 & \frac{3}{2} & 8 & -21)\end{matrix}$$

Sostituendo la riga appena trovata al posto di $R_2$, otteniamo la nuova matrice: $$B^{(3)}=\left(\begin{matrix} 2 & 1 & -2 & 10\\ 0 & \frac{1}{2} & 5 & -14\\ 0 & \frac{3}{2} & 8 & -21\end{matrix}\right)$$

Avendo annullato tutti i termini sotto il pivot della prima colonna, ci spostiamo sulla seconda colonna di $B^{(3)}$ dove individuiamo il nuovo pivot $a_{22}=\frac{1}{2}$.

Annulliamo il termine $a_{32}=\frac{3}{2}$ moltiplicando $R_2$ per il moltiplicatore $-\frac{a_{32}}{a_{22}}=-\frac{3/2}{1/2}=-3$: $$\begin{matrix} -3(0 & \frac{1}{2} & 5 & -14)=\\ (0 & -\frac{3}{2} & -15 & 42)\end{matrix}$$

e sommando tale riga con $R_3$: $$\begin{matrix} (0 & -\frac{3}{2} & -15 & 42) & +\\ (0 & \frac{3}{2} & 8 & -21) & =\\ (0 & 0 & -7 & 21)\end{matrix}$$

Sostituendo la riga appena trovata al posto di $R_3$, otteniamo la nuova matrice che è pure la matrice definitiva: $$B^{(4)}=\left(\begin{matrix} 2 & 1 & -2 & 10\\ 0 & \frac{1}{2} & 5 & -14\\ 0 & 0 & -7 & 21\end{matrix}\right)$$

Risolviamo dunque il sistema ad essa associato: $$\begin{cases} & 2x + & y &-2z & =10\\ & &\frac{1}{2}y &+5z & =-14\\ & & &-7z & = 21\end{cases}$$

Dalla terza equazione troviamo $z=\frac{21}{-7}=-3$ e la sostituiamo nelle prime due equazioni precedenti: $$\begin{cases} 2x + y -2(-3) = 10\\ \frac{1}{2}y +5(-3) = -14\\ z = -3\end{cases}\to \begin{cases} 2x + y +6 = 10\\ \frac{1}{2}y -15 = -14\\ z = -3\end{cases}$$

Quindi dalla seconda equazione otteniamo $y=(-14+15)*2=2$ che sostituendola nella prima equazione arriviamo al risultato del sistema: $$\begin{cases} 2x + 2 +6 = 10\\ y = 2\\ z = -3\end{cases}\to \begin{cases} x = 1\\ y = 2\\ z = -3\end{cases}$$

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