Frazioni

Se eseguiamo una divisione tra due numeri naturali sappiamo che non sempre otteniamo come quoto un numero naturale. Ad esempio, i quoti delle seguenti divisioni:

$$4:5\quad\quad 5:4\quad\quad 9:8$$

non sono dei numeri naturali bensì numeri decimali, infatti:

$$4:5=0,8\quad\quad 5:4=1,25\quad\quad 9:8=1,125$$

Consideriamo il seguente quesito: come dividere $4$ pani uguali tra $5$ persone? Ogni pane viene diviso in $5$ parti uguali in modo che ogni persona possa prenderne una fetta; così, la prima persona prende una fetta del primo pane, una del secondo, una del terzo e una del quarto.

esempio per l'unità frazionaria

Ognuna delle $5$ parti uguali in cui è stato diviso un pane si dice un quinto e si indica con il simbolo $\frac{1}{5}$.

L'unità frazionaria $\frac{1}{n}$ (con $n\neq 0$) rappresenta una sola delle $n$ parti uguali in cui è stato diviso l'intero.

Ad esempio $\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\dots$ sono unità frazionarie. Ognuna di esse indica che l'intero è stato diviso rispettivamente in $2,\ 4,\ 8$ parti e ne è stata considerata una.

l'unità frazionaria

Esempio

Se vogliamo tappezzare i $\frac{2}{5}$ di una parete rettangolare, possiamo prima dividere la parete in $5$ parti uguali, ognuna delle quali vale $\frac{1}{5}$ (unità frazionaria), e poi tappezzare due di queste parti

la frazione come operatore

Esempio

Se vogliamo calcolare i $\frac{3}{4}$ di $28$ alunni, possiamo prima calcolare quanti alunni corrispondono all'unità frazionaria $\frac{1}{4}$, dividendo il numero degli alunni per $4$, e poi moltiplicare quest'ultimo valore per il numero $3$.

$$28\ \mbox{alunni}:4=7\ \mbox{alunni}\quad\quad 7\ \mbox{alunni}\cdot 3=21\ \mbox{alunni}$$

Possiamo quindi concludere che i $\frac{3}{4}$ di $28$ alunni corrispondono a $21$ alunni

In una frazione, come ad esempio $\frac{2}{5}$, il $2$ è detto numeratore, il $5$ denominatore e la linietta posta tra i due numeri di dice linea di frazione.

la frazione

La frazione è un'operatore che divide l'intero in tante parti uguali, quante ne indica il denominatore, e ne prende in considerazione tante quante ne indica il numeratore.

I problemi con le frazioni

Con gli strumenti a nostra disposizione siamo ora in grado di comprendere come una frazione operi su una grandezza.

Esempio

Spendiamo i $\frac{2}{7}$ dei nostri risparmi, che ammontano a € $210$, per acquistare un lettore CD. Quanto abbiamo speso?

I dati del problema:

  1. $210=$ valore in Euro del totale dei risparmi; corrisponde all'intero
  2. Incognita: costo del lettore CD che corrisponde ai $\frac{2}{7}$ dell'intero

Per la soluzione del problema rappresentiamo graficamente i dati: problema con frazioni

In questo caso il dato numerico ($210$) corrisponde all'intero. In base alla frazione unitaria che dobbiamo considerare$\left(\frac{1}{7}\right)$ possiamo dire che $210$ corrisponde a $\frac{7}{7}$. Per il calcolo dell'unità frazionaria basta allora svolgere la divisione:

$$210:7=30\quad\mbox{(valore in Euro della frazione unitaria 1/7 dell'intero)}$$

Per stabilire il prezzo del lettore CD basta osservare che tale quantità (in rosso) corrisponde a $2$ volte l'unità frazionaria cioè:

$$30\cdot 2=60\quad \mbox{(valore in Euro del lettore CD cioè 2/7 dell'intero)}$$

Risposta: per l'aquisto del lettore CD abbiamo speso € $60$.

Esempio

Un ciclista percorre un tragitto lungo $675$ km in tre tappe. Il primo giorno percorre $\frac{1}{3}$ dell'intero percorso; il secondo giorno i $\frac{2}{5}$ dell'intero percorso. Calcoliamo quanti km ha percorso dopo il secondo giorno e quanti deve percorrerne nella terza tappa.

I dati del problema:

  1. $675=$ numero complessivo km del percorso
  2. $\frac{1}{3}\ \mbox{dell'intero}\ =$ prima tappa
  3. $\frac{2}{5}\ \mbox{dell'intero}\ =$ seconda tappa
  4. Incognite: numero km percorsi dopo il secondo giorno e numero km da percorrere nella terza tappa

In questo problema abbiamo due frazioni che si riferiscono allo stesso intero che è noto; la rappresentazione grafica dei dati del problema è la seguente:

secondo problema con frazioni

Per il calcolo della prima tappa dobbiamo svolgere l'operazione:

$$675:3=225\quad\mbox{(unità frazionaria della prima tappa in km 1/3 dell'intero)}$$

Per il calcolo della seconda tappa dobbiamo osservare che l'unità frazionaria di riferimento cambia da $\frac{1}{3}$ in $\frac{1}{5}$, pertanto dobbiamo svolgere le seguenti operazioni:

$$675:5=135\quad\mbox{(unità frazionaria della seconda tappa in km 1/5 dell'intero)}$$ $$135\cdot 2= 270\quad\mbox{(seconda tappa in km 2/5 dell'intero)}$$

Possiamo ora determinare le incognite del problema:

$$225+270=495\quad\mbox{(somma in km delle prime due tappe)}$$ $$675-495=180\quad\mbox{(terza tappa in km).}$$

Risolvi i seguenti problemi

  1. Calcola i $\frac{3}{5}$ di un segmento lungo $735$ cm.
  2. In una scuola vi sono $300$ alunni. A quanti alunni corrispondono rispettivamente i $\frac{3}{100}$, i $\frac{3}{50}$ e i $\frac{7}{60}$ dell'intera scuola?
  3. Dopo aver letto i $\frac{4}{9}$ delle pagine di un romanzo di avventura mi restano ancora da leggere $125$ pagine. Da quante pagine è costituito l'intero romanzo?

Classificazione delle frazioni

Le frazioni si classificano in:

  • frazioni proprie
  • frazioni improprie
  • frazioni apparenti

Le frazioni proprie sono frazioni che hanno il numeratore minore del denominatore(ad esempio $\frac{2}{3}$ e $\frac{5}{6}$).

Le frazioni improprie sono frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore(ad esempio $\frac{8}{5}$ e $\frac{6}{5}$).

Le frazioni apparenti sono frazioni che hanno il numeratore uguale o multiplo del denominatore(ad esempio $\frac{3}{3}$ e $\frac{8}{4}$).

Infine, due o più frazioni si dicono equivalenti se, operando sulla stessa grandezza, ne rappresentano una parte uguale.

Osserviamo, ad esempio, che le frazioni $\frac{4}{6}$ e $\frac{6}{9}$ si originano dalla frazione $\frac{2}{3}$ moltiplicando contemporaneamente il numeratore e il denominatore di quest'ultima per una stessa quantità (rispettivamente per $2$ e per $3$):

$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{4}{6};\quad\quad \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 3}{3\cdot 3}=\frac{6}{9}.$$

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