Poligoni regolari

Chiamasi poligono regolare, una figura che ha tutti i lati e gli angoli uguali.

I poligoni regolari si classificano in base al numero di lati:

  • Triangolo equilatero (3 lati)
  • Quadrato (4 lati)
  • Pentagono regolare (5 lati)
  • Esagono regolare (6 lati)

poligoni regolari

In realtà i poligoni regolari non finiscono qua: esistono infatti l'ettagono (con 7 lati), l'ottagono (con 8 lati), l'ennagono (con 9 lati), il decagono (con 10 lati) e così via.

Enunciamo, adesso, le caratteristiche comuni dei poligoni regolari indicando con $l$ il lato, con $n$ il numero dei lati del poligono e sapendo che per ogni poligono possiamo sempre considerare il cerchio inscritto e circoscritto

.

Chiamasi apotema di un poligono regolare, il raggio del cerchio inscritto nel poligono regolare. Per esempio vedi figura qui di seguito dove viene rappresentato l'apotema di un triangolo equilatero:

apotema del triangolo

Ad ogni poligono regolare è associato anche un altro numero detto numero fisso f che è il rapporto tra l'apotema e il lato:

$$f=\frac{a}{l}$$

La seguente tabella associa ad ogni poligono regolare il corrispondente numero di lati e il numero fisso:

Poligono regolare N° di lati Numero fisso $f$
Triangolo equilatero $3$ $0,289$
Quadrato $4$ $0,5$
Pentagono $5$ $0,688$
Esagono $6$ $0,866$

Riassumiamo alcune formule necessarie per lo svolgimento dei problemi sui poligoni regolari

  • Perimetro:$\quad n\cdot l$
  • Lato con perimetro dato:$\quad l=\frac{P}{n}$
  • Numero fisso:$\quad f=\frac{a}{l}$
  • Apotema:$\quad a=f\cdot l$
  • Lato con apotema e numero fisso dati:$\quad l=\frac{a}{f}$
  • Area con perimetro e apotema noti:$\quad A=\frac{P\cdot a}{2}$
  • Perimetro con area e apotema noti:$\quad P=\frac{2A}{a}$
  • Apotema con perimetro e area noti:$\quad a=\frac{2A}{P}$

In particolare, vediamo pure le formule del triangolo equilatero:

  • Area:$\quad A=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2$
  • Lato con area nota:$\quad l=\sqrt{\frac{4}{\sqrt{3}}A}$
  • Perimetro:$\quad P=3l$
  • Lato con perimetro noto:$\quad l=\frac{P}{3}$
  • Altezza con lato noto:$\quad h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$
  • Lato con altezza nota:$\quad l=\frac{2}{\sqrt{3}}h$

Vediamo di risolvere qualche problema relativo ai poligoni regolari

Esempio

Calcolare area, perimetro e altezza di un triangolo equilatero di lato pari a $7 cm$.

Dati del problema:

  1. $l=7cm$
  2. $A=?\quad P=?\quad h=?$

Calcoliamo area, perimetro e altezza utilizzando le formule del triangolo equilatero:

$\begin{array}{l} A=\frac{\sqrt{3}}{4}l^2=\frac{\sqrt{3}}{4}7^2=\frac{\sqrt{3}}{4}49=21,22cm^2\\ P=3l=3*7=21cm\\ h=\frac{\sqrt{3}}{2}l=\frac{\sqrt{3}}{2}7=6,06cm\end{array}$

Esempio

Un pentagono regolare ha il perimetro di $22,34 cm$. Calcolare la sua area.

Dati del problema:

  1. $P=22,34cm$
  2. $A=?$

Troviamo per prima cosa il lato del pentagono:

$l=\frac{P}{5}=\frac{22,34}{5}=4,468cm$

Sapendo che il numero fisso di un pentagono è $f=0,688$ calcoliamo l'apotema:

$a=f*l=0.688*4,468=3,074cm$

Infine calcoliamo l'area:

$A=\frac{P*a}{2}=\frac{22,34*3,074}{2}=34,34cm^2$

Esempio

In un esagono regolare l’apotema misura $22,21 cm$. Calcolare la sua area.

Dati del problema:

  1. $a=22,21cm$
  2. $A=?$

Sapendo che il numero fisso di un esagono è $f=0,866$ calcoliamo il suo lato:

$l=\frac{a}{f}=\frac{22,21}{0,866}=25,65cm$

Avendo il lato, possiamo facilmente ricavare il perimetro:

$P=l*6=25,65*5=153,9cm$

Adesso, possiamo calcolare l'area:

$A=\frac{P*a}{2}=\frac{153,9*22,21}{2}=1709,0595cm^2$

Problemi sui poligono regolari da svolgere

Risolvere i seguenti problemi

  1. Calcolare il perimetro di un triangolo equilatero sapendo che l'altezza misura $9cm$.
  2. Calcolare l’area di un pentagono regolare avente l’apotema lungo $21 m$.
  3. Calcolare l’area di un esagono regolare avente il perimetro di $55 m$.

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.