Quadrilateri notevoli

Si chiama quadrilatero un poligono composto da 4 lati tale che la somma degli angoli interni è pari a $360^°$

I quadrilateri più comuni nella geometria sono:

• Rettangolo
• Parallelogramma
• Rombo
• Quadrato
• Trapezio

Rettangolo

Il rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli uguali ($90^°$ ciascuno) e i lati a due a due congruenti.

Di seguito l'elenco delle formule utili per il rettangolo:

• Perimetro con base e altezza noti:$\quad P=2b+2h$
• Base con perimetro e altezza noti:$\quad b=\frac{P-2h}{2}$
• Altezza con perimetro e base noti:$\quad h=\frac{P-2b}{2}$
• Diagonale con base e altezza noti:$\quad d=\sqrt{b^2+h^2}$
• Base con diagonale e altezza noti:$\quad b=\sqrt{d^2-h^2}$
• Altezza con diagonale e base noti:$\quad b=\sqrt{d^2-b^2}$
• Area con base e altezza noti:$\quad A=b\cdot h$
• Base con area e altezza noti:$\quad b=\frac{A}{h}$
• Altezza con area e base noti:$\quad b=\frac{A}{b}$

Parallelogramma

Il parallelogramma è un quadrilatero con quattro angoli uguali (ma non retti come nel caso del rettangolo) e i lati a due a due congruenti. Inoltre, esso presenta due diagonali, una minore $d_1$ e una maggiore $d_2$. Infine, indichiamo con $l$, il lato obliquo.

Di seguito l'elenco delle formule utili per il parallelogramma:

• Perimetro con base e lato obliquo noti:$\quad P=2b+2l$
• Base con perimetro e lato obliquo noti:$\quad b=\frac{P-2l}{2}$
• Lato obliquo con perimetro e base noti:$\quad l=\frac{P-2b}{2}$
• Area con base e altezza noti:$\quad A=b\cdot h$
• Base con area e altezza noti:$\quad b=\frac{A}{h}$
• Altezza con area e base noti:$\quad b=\frac{A}{b}$

Quadrato

Il quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali e gli angoli uguali (angoli retti). Indichiamo con $l$, il lato e con $d$ la diagonale del quadrato.

Di seguito l'elenco delle formule utili per il quadrato:

• Perimetro con lato noto:$\quad P=4\cdot l$
• Lato con perimetro noto:$\quad l=\frac{P}{4}$
• Area con lato noto:$\quad A=l^2$
• Area con diagonale nota:$\quad A=\frac{d^2}{2}$
• Diagonale con lato noto:$\quad d=l\sqrt{2}$
• Lato con diagonale nota:$\quad l=\frac{d}{\sqrt{2}}$
• Diagonale con area nota:$\quad d=\sqrt{2A}$

Rombo

Il rombo è un quadrilatero con tutti i lati uguali e gli angoli a due a due congruenti. Inoltre, esso presenta due diagonali, una minore $d_1$ e una maggiore $d_2$. Infine, indichiamo con $l$, il lato.

Di seguito l'elenco delle formule utili per il rombo:

• Perimetro con lato noto:$\quad P=4\cdot l$
• Lato con perimetro noto:$\quad l=\frac{P}{4}$
• Area con diagonali note:$\quad A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$
• Diagonale minore con area e diagonale maggiore note:$\quad d_1=\frac{2A}{d_2}$
• Diagonale maggiore con area e diagonale minore note:$\quad d_2=\frac{2A}{d_1}$
• Lato con diagonali note:$\quad l=\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$
• Diagonale minore con lato e diagonale maggiore noti:$\quad d_1=\sqrt{l^2-\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$
• Diagonale maggiore con lato e diagonale minore noti:$\quad d_2=\sqrt{l^2-\left(\frac{d_1}{2}\right)^2}$

Trapezio

Il trapezio è un quadrilatero i cui elementi principali sono la base minore $b_1$, la base maggiore $b_2$ e l'altezza $h$. Il trapezio puo essere:

• scaleno se ha tutti i lati e gli angoli diversi.
• isoscele se ha i due lati obliqui uguali e gli angoli adiacenti uguali a coppia.
• rettangolo se ha tutti i lati diversi e due angoli retti.

Di seguito l'elenco delle formule utili per un trapezio qualsiasi:

• Perimetro con tutti i lati noti:$\quad P=b_1+b_2+l_1+l_2$
• Area con basi e altezza noti:$\quad A=\frac{(b_1+b_2)h}{2}$
• Base minore:$\quad b_2=\frac{2A}{h}-b_1$
• Base maggiore:$\quad b_1=\frac{2A}{h}-b_2$
• Altezza:$\quad h=\frac{2A}{b_1+b_2}$

Problemi con i quadrilateri

Dati del problema:

1. $b=30cm$
2. $h=4,5cm$
3. $P=?\quad A=?$

Calcoliamo il perimetro

$P=2b+2h=2*30+2*4,5=60+9=69cm$

Calcoliamo l'area

$A=bh=30*4,5=135cm^2$

Dati del problema:

Indichiamo con $l$ il lato del quadrato, $l_1$ ed $l_2$ i lati del rettangolo, $P_q$ il perimetro del quadrato e $P_r$ il perimetro del rettangolo.

1. $l_1=\frac{l}{2}$
2. $P_q=P_r=15cm$
3. $l_1=?\quad l_2=?$

Calcoliamo dapprima il lato del quadrato sapendo il perimetro:

$l=\frac{P_q}{4}=\frac{15}{4}=3,75cm$

Sapendo che $l_1$ è metà di $l$:

$l_1=\frac{l}{2}=\frac{3,75}{2}=1,875cm$

Adesso possiamo trovarci l'altro lato del rettangolo:

$l_2=\frac{P_r-2*l_1}{2}=\frac{15-2*1,875}{2}=\frac{11,25}{2}=5,625cm$

Dati del problema:

1. $P=320dm$
2. $l_1=70dm$
3. $h_1=\frac{3}{2}l_1$
4. $A=?\quad h_2=?$

Calcoliamo l'altezza $h_1=h_2$ del parallelogramma:

$h_1=h_2=\frac{3}{2}l_1=\frac{3}{2}70=105dm$

Per calcolare l'area del parallelogramma dobbiamo prima trovarci la misura della base:

$b=\frac{P-2*l_1}{2}=\frac{320-2*70}{2}=\frac{180}{2}=90dm$

Quindi, calcoliamo l'area:

$A=b*h_1=90*105=9450dm^2$

Dati del problema:

1. $P_{rett}=105m$
2. $b=21m$
3. $A_{rombo}=A_{rett}$
4. $d_1=28m$
5. $d_2=?$

Calcoliamo l'altezza del rettangolo:

$h=\frac{P_{rett}-2b}{2}=\frac{105-2*21}{2}=\frac{63}{2}=31,5m$

Possiamo calcolare l'area del rettangolo che è uguale a quella del rombo:

$A_{rombo}=A_{rett}=b*h=21*31,5=661,5m^2$

Nota l'area del rombo e una diagonale, possiamo ricavarci l'altra diagonale:

$d_2=\frac{2A}{d_1}=\frac{2*661,5}{28}=\frac{1323}{28}=47,25m$

Dati del problema:

1. $A_t=\frac{3}{5}A_q$
2. $P_q=97cm$
3. $h_t=14cm$
4. $b_2-b_1=4cm$
5. $b_r=b_2$
6. $h_r=b_1$
7. $A_r=?$

Per prima cosa calcoliamo il lato del quadrato sapendo il perimetro:

$l=\frac{P_q}{4}=\frac{97}{4}=24,25cm$

Calcoliamo, quindi, l'area del quadrato:

$A_q=l^2=24,25^2=588,0625cm^2$

Sapendo che $A_t=\frac{3}{5}A_q$:

$A_t=\frac{3}{5}A_q=\frac{3}{5}588,0625=352,8375cm^2$

Poichè $b_2-b_1=4cm$ ricavo che $b_2=4+b_1$ e ricordando la formula per calcolare una delle basi avendo l'area, altezza e l'altra base:

$b_1=\frac{2A_t}{h_t}-b_2=\frac{2A_t}{h_t}-(4+b_1)=\frac{2A_t}{h_t}-4-b_1$

Da cui, ricaviamo:

$b_1=\frac{A_t}{h_t}-2=\frac{352,8375}{14}-2=23,20cm$

Dunque dalla relazione $b_2=4+b_1$ si ha:

$b_2=4+b_1=4+23,20=27,20cm$

Possiamo, finalmente calcolare l'area del rettangolo:

$A_r=b_r*h_r=b_2*b_1=23,20*27,20=631,04cm^2$

Esercizi da svolgere

Risolvere i seguenti problemi

1. La base di un rettangolo misura $40 cm$, mentre l'area è pari a $100 cm^2$. Calcolare l'altezza del rettangolo.
2. Un rettangolo ed un quadrato hanno lo stesso perimetro. Il lato del quadrato è pari a $45 cm$ e le dimensioni del rettangolo sono una metà dell'altra. Calcolare l'area del rettangolo.
3. Il perimetro di un parallelogramma è pari a $320 dm$, un lato misura $70 dm$ e l'altezza relativa è pari ad $\frac{1}{3}$ di tale lato. Calcolare il perimetro del quadrato equivalente ai $\frac{3}{8}$ del parallelogramma e il perimetro di un rettangolo avente altezza pari a $18 dm$ ed equivalente al doppio del parallelogramma.
4. La base di un rettangolo misura $31cm$ ed è pari ai $\frac{6}{12}$ della diagonale. Calcolare il perimetro e l'area di un rombo avente le diagonali congruenti alle dimensioni del rettangolo.
5. Un trapezio isoscele ed un rettangolo hanno le altezze congruenti; il lato obliquo del trapezio è di $13 cm$ e il perimetro del rettangolo è di $180 cm$. Inoltre, la differenza delle dimensioni del rettangolo è di $27 cm$. Calcolare: la misura delle basi del trapezio; la misura delle dimensioni del rettangolo; l'area del trapezio e del rettangolo.