Radice cubica

La radice cubica di un numero (radicando) è un altro numero che elevato al cubo mi dà il radicando.

Esempio

  1. $\sqrt[3]{8}=2\quad$ perchè $\ 2^3=8$
  2. $\sqrt[3]{27} =3\quad$ perchè $\ 3^3=27$
  3. $\sqrt[3]{125} =5\quad$ perchè $\ 5^3=125$

Per riconosce se la radice cubica è esatta o no, devo scomporre il radicando in fattori primi e vedere con quale esponente compaiono. Se il radicando si scompone in fattori primi con esponente multiplo di $3$, la radice cubica è esatta altrimenti, se il radicando ha almeno un fattore con esponente non multiplo di $3$, la radice non sarà esatta

Esempio

Alcuni esempi di radici cubiche esatte

  1. $\sqrt[3]{8}=\sqrt{2^3}=2$
  2. $\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=2\cdot 3=6$
  3. $\sqrt[3]{512}=\sqrt[3]{2^3\cdot 4^3}=2\cdot 4=8$

Esempio

alcuni esempi di radici non esatte

  1. $\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^4}$
  2. $\sqrt[3]{33}=\sqrt[3]{3\cdot 11}$
  3. $\sqrt[3]{63}=\sqrt[3]{3^2\cdot 7}$

Come per le radici quadrate, anche le radici cubiche si distinguono in esatte e non esatte. Al solito, quelle non esatte, possiamo approssimarle per eccesso o per difetto

Esempio

Approssimiamo per eccesso e per difetto $\sqrt[3]{68}$

Per approssimarla per eccesso, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più piccolo che, elevato al cubo ci dà un numero maggiore di 68? Tale numero è $5$ perchè $5^3=125>68$.

Per approssimarla per difetto, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più grande che, elevato al cubo ci dà un numero minore di 68? Tale numero è $4$ perchè $4^3=64<68$.

Possiamo concludere dicendo che $5$ è l'approssimazione per eccesso di $\sqrt{68}$, mentre $4$ è l'approssimazione per difetto di $\sqrt{68}$.

Esempio

Estrarre le seguenti radici cubiche approssimando eventualmente sia per eccesso che per difetto:

  1. $\sqrt[3]{64}$
  2. $\sqrt[3]{128}$
  3. $\sqrt[3]{48}$

Estraiamo la 1):

$\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{2^6}=2^2=4$

Estraiamo la 2):

$\sqrt[3]{128}=\sqrt[3]{2^7}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $6$, per difetto diventa $5$.

Estraiamo la 3):

$\sqrt[3]{1225}=\sqrt[3]{5^2\cdot 7^2}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $11$, per difetto diventa $10$.

Estrarre le seguenti radici cubiche approssimandole eventualmente per eccesso e per difetto

  1. $\sqrt[3]{81}$
  2. $\sqrt[3]{146}$
  3. $\sqrt[3]{543}$
  4. $\sqrt[3]{2876}$
  5. $\sqrt[3]{3245}$

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