Radice quadrata

Estrarre una radice quadrata significa trovare la base dati il valore della potenza e l'esponente. In sostanza, si tratta dell'operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza

L'elevamento a potenza può essere alla seconda, alla terza, ecc, cosi come l'estrazione della radice può essere quadrata, cubica, ecc.

Ad esempio, $\sqrt{25}=5$ perchè $5^2=25$

Dunque, possiamo dire che, la radice quadrata di un numero detto radicando è data da un altro numero che elevato al quadrato mi dà il radicando.

radice quadrata

I numeri per i quali esiste la radice quadrata si dicono quadrati perfetti e la loro radice quadrata di dice esatta

Esempio

  1. $\sqrt{16}=4\quad\quad \sqrt{64}=8$
  2. $\sqrt{0,04}=0,2\quad\quad \sqrt{3,24}=1,8$
  3. $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\quad\quad \sqrt{\frac{81}{49}}=\frac{9}{7}$

Non sempre, però, la radice quadrata di un numero è esatta, cioè non sempre esiste un numero razionale che elevato al quadrato mi dà il radicando

Esempio

$\sqrt{23}=?\quad \sqrt{0,4}=?\quad \sqrt{\frac{37}{13}}=?$

Per riconosce se la radice è esatta o no, devo scomporre il radicando in fattori primi e vedere con quale esponente compaiono. Se il radicando si scompone in fattori primi con esponente pari, la radice è esatta altrimenti, se il radicando ha almeno un fattore con esponente dispari, la radice non sarà esatta

Esempio

alcuni esempi di radici quadrate esatte

  1. $\sqrt{16}=\sqrt{2^4}=4$
  2. $\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$
  3. $\sqrt{100}=\sqrt{2^2\cdot 5^2}=10$

Esempio

alcuni esempi di radici quadrate non esatte

  1. $\sqrt{15}=\sqrt{3\cdot 5}$
  2. $\sqrt{24}=\sqrt{2^3\cdot 3}$
  3. $\sqrt{12}=\sqrt{2^2\cdot 3}$

Per estrarre radici non esatte si effettua un'approssimazione per eccesso o per difetto.

Esempio

Approssimiamo per eccesso e per difetto $\sqrt{15}$

Per approssimarla per eccesso, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più piccolo che, elevato al quadrato ci dà un numero maggiore di 15? Tale numero è $4$ perchè $4^2=16>15$.

Per approssimarla per difetto, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più grande che, elevato al quadrato ci dà un numero minore di 15? Tale numero è $3$ perchè $3^2=9<15$.

Possiamo concludere dicendo che $4$ è l'approssimazione per eccesso di $\sqrt{15}$, mentre $3$ è l'approssimazione per difetto di $\sqrt{15}$.

Esempio

Estrarre le seguenti radici approssimando eventualmente sia per eccesso che per difetto:

  1. $\sqrt{64}$
  2. $\sqrt{56}$
  3. $\sqrt{48}$

Estraiamo la 1):

$\sqrt{64}=\sqrt{2^6}=2^3=8$

Estraiamo la 2):

$\sqrt{56}=\sqrt{2^3\cdot 7}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $8$, per difetto diventa $7$.

Estraiamo la 3):

$\sqrt{48}=\sqrt{2^4\cdot 3}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $7$, per difetto diventa $6$.

Estrarre le seguenti radici quadrate

  1. $\sqrt{81}$
  2. $\sqrt{128}$
  3. $\sqrt{104}$
  4. $\sqrt{221}$
  5. $\sqrt{76}$

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