Teorema di Pitagora

Il triangolo rettangolo è un poligono composto da tre lati (in generale diversi) e da tre angoli di cui uno retto ($90^°$). La base e l'altezza vengono chiamati cateti, mentre il lato obliquo ipotenusa

triangolo rettangolo

Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

In formule:

$$c^2=b^2+h^2$$ teorema di pitagora

Dal teorema di Pitagora si ricavano le seguenti formule per un triangolo rettangolo:

  • Base con altezza e ipotenusa note:$\quad b=\sqrt{c^2-h^2}$
  • Altezza con base e ipotenusa note:$\quad h=\sqrt{c^2-b^2}$
  • Ipotenusa con altezza e base note:$\quad c=\sqrt{b^2+h^2}$

Problemi di geometria sul teorema di Pitagora

Vediamo alcune applicazioni del teorema di Pitagora

Esempio

Calcolo ipotenusa di un triangolo rettangolo noti l'altezza e l'area

L'altezza di un triangolo rettangolo è lunga $16 cm$ e l'area è pari a $320 cm^2$. Calcola l'ipotenusa del triangolo.

DATI DEL PROBLEMA:

  1. $h=16cm$
  2. $A=320cm^2$
  3. $c=?$

Troviamo la base del triangolo:

$b=\frac{A}{h}=\frac{320}{16}=20cm$

Troviamo l'ipotenusa applicando il teorema di Pitagora

$c=\sqrt{b^2+h^2}=\sqrt{20^2+16^2}=\sqrt{400+256}=\sqrt{656}=25,61cm$

Esempio

Calcolare l'area di un triangolo rettangolo isoscele avente ipotenusa pari a $12cm$.

DATI DEL PROBLEMA:

  1. $c=12cm$
  2. $A=?$

Poichè il triangolo rettangolo è isoscele $b=h$.Dal teorema di pitagora abbiamo che

$c^2=b^2+h^2=b^2+b^2=2b^2$

Dunque, abbiamo trovato che:

$c^2=2b^2\Rightarrow b^2=\frac{c^2}{2}\Rightarrow b=\frac{c}{\sqrt{2}}$

Applicando l'ultima espressione trovata possiamo ricavarci $b=h$:

$b=\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=8,49cm$

Dunque, l'area del triangolo sarà:

$A=b*h=8,49*8,49=72,0801cm^2$

Esempio

Un triangolo rettangolo ha la base è congruente al lato di un quadrato avente area pari a $27 cm^2$. L'ipotenusa è lunga $9 cm$. Calcolare il valore dell'altezza, dell'area e del perimetro del triangolo.

DATI DEL PROBLEMA:

  1. $A_q=27cm^2$
  2. $c=9cm$
  3. $h=?\quad A_t=?\quad P_t=?$

Ricaviamoci com prima cosa il lato del quadrato che è congruente alla base del triangolo:

$l=b=\sqrt{A_q}=\sqrt{27}=5,20cm$

Conoscendo l'ipotenusa e la base del triangolo possiamo ricavarci l'altezza:

$h=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{9^2-5,20^2}=\sqrt{81-27}=\sqrt{54}=7,35cm$

Calcoliamo infine area e perimetro del triangolo:

$\begin{array}{l} A=\frac{b*h}{2}=\frac{5,20*7,35}{2}=19,11cm^2\\ P=b+h+c=5,20+7,35+9=21,55cm\end{array}$

Esercizi sul teorema di Pitagora da svolgere

Risolvere i seguenti problemi:

  1. In un triangolo rettangolo i cateti sono lunghi rispettivamente $4cm$ e $7,5cm$. Calcolare la misura dell'ipotenusa.
  2. In un triangolo rettangolo un cateto misura $15mm$, mentre l'ipotenusa è $17,7mm$. Calcolare il perimetro del triangolo.
  3. La base minore di un trapezio rettangolo misura $4 cm$ e quella maggiore il doppio della minore. L'ipotenusa misura $7 cm$. Calcolare altezza, area e perimetro del trapezio.

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