Teoremi di euclide

Prima di enunciare i teoremi di Euclide capiamo cosa si intende per proiezione dei cateti sull'ipotenusa.

Guardiamo il seguente triangolo rettangolo.

proiezione dei cateti sull'ipotenusa

$AH$ è la proiezione del cateto $AC$ sull'ipotenusa, mentre $HB$ è la proiezione del cateto $CB$ sull'ipotenusa.

Primo teorema di Euclide

Il primo teorema di Euclide affema che: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.

primo teorema di euclide

In formule:

$$AC^2=AH\cdot AB$$

Tale teorema, in realtà, ha un'altra formulazione che si scrive sotto forma di proporzione:

$$AH:AC=AC:AB$$

che a parole si traduce così: in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.

Applicazioni sul primo teorema di Euclide

Esempio

Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura $2cm$ e la proiezione del cateto minore sull'ipotenusa misura invece $9.4cm$

Dati del problema:

  1. $AH=2cm$
  2. $AB=9,4cm$
  3. $P=?$

Applichiamo il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo per ricavarci la lunghezza del cateto minore:

$$AH:AC=AC:AB\Rightarrow\quad AC^2=AH*AB\Rightarrow\quad AC=\sqrt{AH*AB}=\sqrt{2*9,4}=\sqrt{18,8}=4,35cm$$

Ricaviamo la proiezione del cateto maggiore sull'ipotenusa:

$$HB=AB-AH=9,4-4,35=5,05cm$$

Applichiamo nuovamente il primo teorema di Euclide per ricavarci il cateto maggiore:

$$HB:CB=CB:AB\Rightarrow\quad CB^2=HB*AB\Rightarrow\quad CB=\sqrt{HB*AB}=\sqrt{5,05*9,4}=\sqrt{47,47}=6,9cm$$

Avendo ricavato tutti i lati, possiamo procedere con il calcolo del perimetro: $$P=AB+AC+BC=9,4+4,35+6,9=20,65cm$$

Secondo teorema di Euclide

Il secondo teorema di Euclide affema che: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

secondo teorema di euclide

In formule:

$$CH^2=AH\cdot HB$$

Tale teorema, in realtà, ha un'altra formulazione che si scrive sotto forma di proporzione:

$$AH:CH=CH:HB$$

che a parole si traduce così: in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Applicazioni sul secondo teorema di Euclide

Esempio

Le proiezioni dei cateti AC e CB di un triangolo rettangolo, sono rispettivamente $12cm$ e $23,7cm$. Calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa.

Dati del problema:

  1. $AH=12cm$
  2. $HB=23,7cm$
  3. $CH=?$

Applichiamo il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo per ricavarci direttamente la lunghezza dell'altezza:

$$AH:CH=CH:HB\Rightarrow\quad CH^2=AH*HB\Rightarrow\quad CH=\sqrt{AH*HB}=\sqrt{12*23,7}=\sqrt{284,4}=16,86cm$$

Problemi sui teoremi di Euclide da svolgere

Risolvere i seguenti problemi

  1. Un triangolo rettangolo ha l'ipotenusa lunga $8cm$ e la proiezione di uno dei cateti pari a $2,5cm$. Trovare i cateti.
  2. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo $19 cm$ e la sua proiezione sull'ipotenusa è i $\frac{3}{4}$ della proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa. Calcola l'area e il perimetro del triangolo rettangolo
  3. In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente $6,5m$ e $12,4m$. Calcolare l’area del triangolo.
  4. Un trapezio rettangolo ha La base maggiore lunga $6m$ e la diagonale minore è perpendicolare al lato. Calcolare l'area e il perimetro del trapezio.

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