Cono

Si definisce cono un solido dato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti. Il cateto attorno al quale avviene la rotazione è detto altezza del cono, mentre l'altro cateto è detto raggio. L'ipotenusa prende invece il nome di apotema del cono.

cono

Un cono si dice equilatero se la lunghezza dell'apotema coincide con il diametro.

Alcune formule utili per gli esercizi sono:

  • Volume: $V=\frac{\pi r^2 h}{3}$
  • Superficie totale: $S_{tot}=S_{lat}+2S_{base}$
  • Superficie laterale: $S_{lat}=\pi r a=S_{tot}-S_{base}$
  • Superficie di base: $S_{base}=\pi r^2=S_{tot}-S_{lat}$
  • Perimetro di base: $2p=2\pi r$
  • Raggio: $r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}=\frac{S_lat}{\pi a}=\frac{2p}{2\pi}=\sqrt{a^2-h^2}$
  • Apotema: $a=\frac{S_{lat}}{\pi r}=\sqrt{h^2+r^2}$
  • Altezza: $h=\frac{3V}{\pi r^2}=\sqrt{a^2-r^2}$

Esempio

Calcola l'area della superficie totale e laterale di un cono, sapendo che l'altezza e l'apotema misurano rispettivamente $45 cm$ e $53 cm$.

I dati del problema:

  1. $h=45cm$
  2. $a=53cm$
  3. $S_{tot}=?\quad S_{lat}=?$

Per risolvere il problema, è sufficiente applicare le formule del cono: $$ r=\sqrt{a^2-h^2}=\sqrt{53^2-45^2}=28cm $$ $$ S_{base}=\pi r^2=3.14\cdot 28^2=2461.76cm^2 $$ $$ S_{lat}=\pi r a=3.14\cdot 28\cdot 53=4659.76cm^2 $$ $$ S_{tot}=S_{base}+S_{lat}=2461.76+4659.76=7128.52cm^2 $$

Esempio

L'area della superficie totale di un cono è di $1440\pi cm^2$ e l'area di base è $5/13$ di quella del area della superficie laterale. Calcola il volume del cono.

I dati del problema:

  1. $S_{tot}=1440\pi cm^2$
  2. $S_{base}=\frac{5}{13}\cdot S_{lat}$
  3. $V=?$

Sappiamo che: $$ S_{tot}=S_{base}+S_{lat}=1440\pi cm^2 $$ e $$ S_{base}=\frac{5}{13}\cdot S_{lat} $$ Per risolvere questo problema dobbiamo calcolare l'unita frazionaria $u_f$ nel seguente modo: $$ u_f=5+13=18 $$ cosicchè possiamo ricavarci l'area di base: $$ S_{base}=\frac{S_{tot}}{u_f}\cdot 5=\frac{1440\pi}{18}\cdot 5=1256cm^2 $$ Mentre la superficie laterale è: $$ S_{lat}=\frac{S_{tot}}{u_f}\cdot 13=\frac{1440\pi}{18}\cdot 13=3265.6cm^2 $$ Avendo l'area di base, possiamo trovare il raggio: $$ r=\sqrt{\frac{S_{base}}{\pi}}=\sqrt{\frac{1256}{\pi}}=20cm $$ Ora troviamo la circonferenza: $$ C=2\cdot\pi\cdot r=2\cdot 3.14\cdot 20=125.6cm $$ Troviamo, dunque, l'apotema del cono: $$ a=\frac{2\cdot S_{lat}}{C}=\frac{2\cdot 3265.6}{125.6}=52cm $$ Calcoliamo l'altezza applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha per cateri il raggio $r$ e l'apotema $a$: $$ h=\sqrt{a^2-r^2}=\sqrt{52^2-20^2}=\sqrt{2304}=48cm $$ Infine, calcoliamo il volume: $$ V=\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}=\frac{48\cdot 20^2\cdot\pi}{3}=20096cm^3 $$

Esercizi sul cono

  1. Il volume di un cono retto è $210\pi cm^3$ ed il raggio di base lungo $6 cm$. Calcola l'area della superficie totale.
  2. Calcola l'area della superficie laterale e totale di un cono alto $60 cm$ e avente l'apotema lungo $61 cm$.
  3. Immergendo un corpo in un recipiente colmo di acqua traboccano $0,78 l$ di liquido. Sapendo che il cono pesa $8,19 kg$, calcola il suo peso specifico e indica il materiale di cui è fatto.

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