Un'equazione di primo grado è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado vera solo per alcuni valori che si attribuiscono all'incognita.
Esempio
L'uguaglianza $$ 3x+1=2x+6 $$
è un'equazione di primo grado nell'incognita $x$. $3x+1$ è detto primo membro dell'equazione, mentre $2x+6$ è chiamato secondo membro dell'equazione.
Ogni numero che, sostituito all'incognita, fa in modo che il primo membro abbia lo stesso valore del secondo membro, viene chiamato soluzione dell'equazione.
Risolvere un'equazione di primo grado significa trovare la soluzione, ovvero, come appena detto, trovare quel numero che sostituito al posto dell'incognita, rende vera l'uguaglianza tra i due membri. In altre parole potremmo dire che la soluzione dell'equazione è quel valore che soddisfa l'equazione.
Esempio
Se sostituiamo il valore $2$ al posto dell'incognita $x$ nell'equazione precedente otteniamo: $$ 3\cdot 2+1=2\cdot 2+6 $$ risolvendo otteniamo: $$ 7=10 $$ che non è un'uguaglianza. Questo vuol dire che $2$ non è la soluzione dell'equazione iniziale. Se invece, facessimo lo stesso procedimento con il numero $5$ otterremmo: $$ 3\cdot 5+1=2\cdot 5+6\Rightarrow 16=16 $$ che è un'uguaglianza. Questo significa che $5$ è la soluzione dell'equazione iniziale.
Si possono verificare tre casi distinti:
- L'equazione di primo grado non ha nessuna soluzione
Ciò si verifica quando nessun numero sostituito al posto dell'incognita, soddisfa l'equazione. Ad esempio l'equazione $3x+1=5x-2x-8$ non ha soluzioni. In questo caso si dice che l'equazione è impossibile.
- L'equazione di primo grado ha un'unica soluzione
Ciò si verifica quando un solo numero sostituito al posto dell'incognita, soddisfa l'equazione. Ad esempio l'equazione $2x+1=5x-8$ ha una sola soluzione che è $3$. In questo caso si dice che l'equazione è determinata.
- L'equazione di primo grado ha infinite soluzioni
Ciò si verifica quando qualsiasi numero sostituito al posto dell'incognita, soddisfa l'equazione. Ad esempio l'equazione $3x+1=5x-2x-8+9$ ha infinite soluzioni. In questo caso si dice che l'equazione è indeterminata o che è un'identità.
Le equazioni di primo grado si suddividono in $3$ categorie principali
- Equazione di primo grado INTERA:
Si dice intera quando l'incognita compare solo al numeratore: ad esempio $3x+1=2x-7$.
- Equazione di primo grado FRATTA:
Si dice fratta quando l'incognita compare al denominatore in almeno uno dei due membri: ad esempio $\frac{3}{x}+1=2x-7$.
- Equazione di primo grado LETTERALE:
Si dice letterale quando, oltre all'incognita, compaiono altre lettere che rappresentano dei numeri ben precisi: ad esempio $2xa-3=3xb+4$.
I principi di equivalenza
Elenchiamo, adesso, le regole che ci serviranno per svolgere le equazioni di primo grado. Tali regole sono note con il nome di principi di equivalenza:
- Primo principio di equivalenza
Sommando o sottraendo ambo i membri per uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, l'equazione ottenuta è equivalente a quella data.
Esempio
Data l'equazione $$ 4x-2=6 $$ che ha soluzione $x=2$, se si addiziona entrambi i membri il numero $4$, si ottiene l'equazione: $$ 4x-2+4=6+4 $$ che ha ancora soluzione $x=2$, quindi è equivalente a quella data.
Consideriamo ora la stessa equazione $4x-2=6$, ma questa volta addizionando ambo i membri per l'espressione algebrica $x-1$. In questo modo otteniamo: $$ 4x-2+x-1=6+x-1 $$ che ha ancora soluzione $x=2$, e quindi è equivalente a quella data.
- Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo ambo i membri per uno stesso numero diverso da $0$ o una stessa espressione algebrica, l'equazione ottenuta è equivalente a quella data
Esempio
Data l'equazione $$ 3x=6 $$ che ha soluzione $x=2$, se dividiamo ambo i membri per $3$, si ottiene: $$ \frac{3x}{3}=\frac{6}{3} $$ che semplificata risulta: $$ x=2 $$ che è la soluzione della mia equazione.
Il primo principio di equivalenza è scomodo da usare per risolvere un'equazione. Per questo motivo, negli esercizi, si usa la regola del trasporto:
posso trasportare un termine da una parte all'altra dell'uguale purchè si cambia di segno
Uso della regola del trasporto
Consideriamo l'equazione $$ 3x+1=2x+6 $$ notiamo che l'incognita x compare in entrambi i membri e che il numero 1 dovrebbe essere spostato a secondo membro. Applicando la regola del trasporto otteniamo: $$ 3x-2x=6-1 $$ A questo punto sommiamo i termini simili a primo e a secondo membro e abbiamo: $$ x=5 $$ che è la soluzione della nostra equazione.
Vediamo come si risolvono le equazioni di primo grado utilizzando i principi appena enunciati.
Esempi di risoluzione di equazioni di primo grado
Trovare la soluzione delle seguenti equazioni:
- $3x+2=1$;
- $\frac{2}{3}x+1=3x-2$;
- $2-\frac{3}{5}x=\frac{5}{7}+\frac{1}{2}x$;
Risolviamo la 1):
Portiamo tutti i numeri a secondo membro e tutti i termini con la x a primo membro. In questo caso bisogna trasportare il 2 dal primo membro a secondo membro: $$ 3x=1-2. $$ Sommando i termini simili ottengo: $$ 3x=-1 $$ Adesso, per trovare la soluzione devo far in modo di far scomparire il $3$ che moltiplica la $x$: divido ambo i membri per 3: $$ \frac{3x}{3}=-\frac{1}{3} $$ da cui $$ x=-\frac{1}{3}. $$
Risolviamo la 2):
Come prima, portiamo i termini con la $x$ a primo membro e i numeri a secondo membro: $$ \frac{2}{3}x-3x=-2-1 $$ Sommando i termini simili: $$ \frac{2-9}{3}x=-3 $$ ovvero $$ -\frac{7}{3}x=-3 $$ Per trovare la soluzione devo far in modo che il coefficiente della x, $-\frac{7}{3}$ sparisca. Se moltiplico ambo i membri per $-\frac{3}{7}$, avrò il risultato atteso: $$ -\frac{3}{7}\bigg(-\frac{7}{3}x\bigg)=-3\bigg(-\frac{3}{7}\bigg) $$ Semplificando ottengo: $$ x=\frac{9}{7} $$
Risolviamo la 3):
Al solito, portiamo i termini con la x a primo membro e i numeri a secondo membro: $$ -\frac{3}{5}x-\frac{1}{2}x=\frac{5}{7}-2 $$ Sommiamo i termini simili: $$ -\frac{6+5}{10}x=\frac{5-14}{7} $$ cioè $$ -\frac{11}{10}x=-\frac{9}{7} $$ A questo punto è intuitivo moltiplicare per $-\frac{10}{11}$: $$ -\frac{10}{11}\bigg(-\frac{11}{10}x\bigg)=-\frac{9}{7}\bigg(-\frac{10}{11}\bigg) $$ da cui ottengo: $$ x=\frac{90}{77} $$
Esercizi sulle equazioni di primo grado
Risolvere le seguenti equazioni di primo grado:
- $3x+1=4x-2$
- $\frac{x}{2}-4x+1=3$
- $\frac{4}{x}-2=\frac{7}{2}x-1$