Espressioni algebriche

Vediamo, adesso, come risolvere le espressioni algebriche in cui compaiono le quattro operazioni tra monomi e polinomi

Esempio

Calcola il valore delle seguenti espressioni letterali

  1. $2(3a^3+5a^2-2a+1)-(3a^3-2a^2+5a-7)$
  2. $\frac{1}{3}x^2\left(\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{2}x+6\right)$
  3. $3) (3a-2b)\frac{1}{3}a-a^2+\frac{2}{3}b(2a-3b)-4(b^2-\frac{1}{3}ab)$

Svolgiamo la 1):

$$\begin{array}{l} 2(3a^3+5a^2-2a+1)-(3a^3-2a^2+5a-7)=\\ =6a^3+10a^2-4a+2-3a^3+2a^2-5a+7=\\ =3a^3+12a^2-9a+9 \end{array}$$

Svolgiamo la 2):

$$\begin{array}{l} \frac{1}{3}x^2\left(\frac{1}{4}x^2-\frac{9}{2}x+6\right)=\\ =-\frac{1}{12}x^4+\frac{3}{2}x^3-2x^2 \end{array}$$

Svolgiamo la 3):

$$\begin{array}{l} (3a-2b)\frac{1}{3}a-a^2+\frac{2}{3}b(2a-3b)-4(b^2-\frac{1}{3}ab)= \\ =a^2-\frac{2}{3}ab-a^2+\frac{4}{3}ab-2b^2-4b^2+\frac{4}{3}ab= \\ =2ab-6b^2 \end{array}$$

Esercizi sulle espressioni letterali

  1. $2(4x^3-5x^2+2)+(-3x^2+2x^2-2)$
  2. $4a^3\left(\frac{1}{8}a^2-\frac{3}{2}a+2\right)$
  3. $\frac{5}{4}a\left(\frac{8}{15}x^3-\frac{8}{5}x^2y\right)+(xa^2-5)x-\frac{2}{3}x^2a\left(x-3y+\frac{3}{2}a\right)$

I prodotti notevoli

I prodotti notevoli sono prodotti tra due o più polinomi che vengono svolti applicando una semplice regola.

Esempi di prodotti notevoli sono:

  1. Quadrato di binomio: $\begin{array}{l} (a+b)^2 &=a^2+b^2+2ab\\ (a-b)^2 &=a^2+b^2-2ab\end{array}$
  2. Quadrato di trinomio: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
  3. Differenza di quadrati: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
  4. Cubo di binomio: $\begin{array}{l} (a+b)^3 &=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a-b)^3 &=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\end{array}$
  5. Somma di cubi: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
  6. Differenza di cubi: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Vediamo come applicare queste regole

Esempio

Semplifica i seguenti polinomi utilizzando i prodotti notevoli:

  1. $$\begin{eqnarray} (a+2)^2 &= & a^2+2^2+2\cdot 2a=\\ &=& 2+4+4a=6+4a\end{eqnarray}$$
  2. $$\begin{eqnarray} (x+y)^2-(x-y)^2&=&x^2+y^2+2xy-(x^2+y^2-2xy)=\\ &=&x^2+y^2+2xy-x^2-y^2+2xy=4xy\end{eqnarray}$$
  3. $$\begin{eqnarray} (x+2)(x-2)+(2y-3)(2y+3)&=&x^2-2^2+(2y)^2-3^2=\\ &=&x^2-4+4y^2-9=\\ &=&x^2+4y^2-13\end{eqnarray}$$
  4. $$\begin{eqnarray} (a+b)^3-(1+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-(1^3+3\cdot 1^2 b+3\cdot 1\cdot b^2+b^3)=\\ &=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-1^3-3\cdot 1^2 b-3\cdot 1\cdot b^2-b^3=\\ &=&a^3+3a^2b+3ab^2+2b^3-3b-3b^2-1\end{eqnarray}$$

Esercizi sui prodotti notevoli da svolgere

  1. $(x+3y)^2-(5-x)^2$
  2. $(3b-1)(3b+1)+(3+7a)^2$
  3. $(3x-1)^3-(2x+4y)^3$

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.