Espressioni con i numeri relativi

Esempio espressione con numeri interi

Calcoliamo il valore dell'espressione con somme algebriche di numeri interi relativi: $$+8-[-10+(3-7)-(-1+8-5)]$$ Applicando le ormai note proprietà dell'addizione e della sottrazione e ricordando l'uso delle parentesi, possiamo procedere liberando l'espressione dalle parentesi interne: $$\begin{array}{l} +8-[-10+(3-7)-(-1+8-5)]=\\ =+8-[-10+3-7+1-8+5]=\\ =+8+10-3+7-1+8-5=+24 \end{array}$$

Esempio espressione con frazioni

Calcoliamo il valore dell'espressione con somme algebriche di frazioni: $$-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{5}{6}$$ Risolviamola facendo il minimo comune multiplo: $$-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=\frac{-18+3+8-10}{12}=-\frac{17}{12}$$

Esempio espressione con potenze di numeri interi

Svolgiamo la seguente espressione:

$$[(+2-5-5)^2:(4)^2]^2(-1/2)^2.$$

Per poter svolgere l'esercizio occorre ricordare che in una espressione con parentesi, prima si eseguono le parentesi tonde, poi quelle quadre ed infine quelle graffe secondo il seguente ordine: prima si svolgono le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni ed infine somme e sottrazioni:

$$\begin{array}{l} [(+2-5-5)^2:(4)^2]^2(-1/2)^2=\\ =[(-8)^2:16]^2(1/4)=\\ =[64:16]^2(1/4)=\\ =[4]^2(1/4)=\\ =16(1/4)=4\end{array}$$

Esempio di espressione con tutte le operazioni

Calcolare il valore della seguente espressione: $$ \bigg[\bigg(+\frac{1}{2}\bigg)^4\bigg]^{-3} \bigg[\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^4\bigg]^3+ \bigg[\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{-4}\bigg]^3 \bigg[\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{-4}\bigg]^{-3}= $$ Risolviamo innanzitutto le potenze di potenze: $$\begin{array}{l} =\bigg(+\frac{1}{2}\bigg)^{(4)(-3)}\cdot \bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{(4)(3)} + \bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{(-4)(3)}\cdot \bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{(-4)(-3)}=\\ =\bigg(+\frac{1}{2}\bigg)^{(-12)}\cdot \bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{(12)} + \bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{(-12)}\cdot \bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{(12)}\end{array} $$ Trasformiamo le frazioni con esponente negativo in potenze con esponente positivo ricordando che una frazione ad esponente negativo è uguale al suo reciproco elevato allo stesso esponente, ma positivo: $$ =(+2)^{(12)} \cdot\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{(12)}+ (-2)^{(12)} \cdot\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^{(12)}= $$ Abbiamo cosi ottenuto due prodotti di potenze avente base diversa ma esponente uguale: il loro prodotto sarà uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente: $$ =\bigg[(+2) \cdot\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)\bigg]^{(12)}+ \bigg[(-2) \cdot\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)\bigg]^{(12)} $$ A questo punto, eseguiamo il prodotto indicato nelle parentesi quadre e calcoliamo le potenze: $$ =[(+1) \cdot(-1)]^{(12)}+ [(-1) \cdot(-1)]^{(12)}=[-1]^12+[+1]^12=1+1=2. $$

Esercizi sulle espressioni di numeri relativi

Calcolare le seguenti espressioni:

  1. $\bigg(-5 +\frac{3}{7}\bigg) : \frac{(-2)^3}{14} \bigg(2 +\frac{1}{3}\bigg) : \bigg(-2 +\frac{5}{6}\bigg) + (-2)^4$.
  2. $\bigg[\bigg(\frac{2}{3} +\frac{1}{4}\bigg) : \bigg(-\frac{1}{3}\bigg)^3\bigg] : \bigg[\bigg(-\frac{9}{5}\bigg)^2 : 2 \bigg(-1 -\frac{1}{4}\bigg)^2 \bigg(-\frac{2}{3}\bigg)^2\bigg]$.
  3. $\left\{\bigg[\bigg(-\frac{1}{5}\bigg)^3 : (-5)^{-2} + \bigg(1 -\frac{1}{4}\bigg) \bigg(2 -\frac{2}{3}\bigg)\bigg] : \bigg(1 -\frac{1}{3}\bigg) + \bigg(-2 -\frac{2}{5}\bigg) \bigg(1 +\frac{1}{4}\bigg)^2\right\}^{-1}$.

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