Piramide

Si definisce piramide un poliedro avente per base un poligono e come facce dei triangoli: tali triangoli hanno come base uno spigolo della base della piramide ed hanno a comune il vertice della piramide.

piramide

Come per i prismi, anche le piramidi si suddividono in due tipi:

  • Piramide retta
  • Piramide regolare

Si definisce piramide retta una piramide il cui poligono di base può essere circoscritto ad una circonferenza e dunque, il piede dell'altezza della piramide coincide con il centro della circonferenza.

piramide retta

Si definisce piramide regolare una piramide retta che ha come base un poligono regolare.

Una piramide è caratterizzata da due parti importanti:

  • Apotema (a): è l'altezza di uno dei triangoli che compongono la superficie laterale (vedi segmento rosso in figura).
  • Altezza (h): è il segmento che parte dal vertice della piramide e scende perpendicolarmente sul piano in cui giace la base (vedi segmento blu in figura).

apotema e altezza di una piramide

Indicando con $2p$ il perimetro di base, $a$ l'apotema, $r$ il raggio della circonferenza inscritta nella base e $h$ l'altezza della piramide si hanno le seguenti formule.

    • Formule per piramidi qualsiasi
      • Volume: $V=S_{base}\cdot\frac{h}{3}$
      • Superficie totale: $S_{tot}=S_{lat}+S_{base}$
    • Formule per piramide retta
      • Superficie laterale: $S_{lat}=2p\cdot\frac{a}{2}=S_{tot}-S_{base}$
      • Superficie di base: $S_{base}=\frac{3V}{h}$
      • Perimetro di base: $2p=2\frac{S_{lat}}{a}=2\frac{S_{base}}{r}$
      • Altezza: $h=\frac{3V}{S_{base}}$
      • Apotema: $a=2\frac{S_{lat}}{2p}$
      • Raggio: $r=2\frac{S_{base}}{2p}$

Formule per piramide regolare

    • Altezza: $h=\sqrt{a^2-r^2}$
    • Apotema: $a=\sqrt{h^2+r^2}$
    • Raggio: $r=\sqrt{a^2-h^2}$

Esempio

L'apotema e l'altezza di una piramide regolare quadrangolare misurano rispettivamente $15.6 cm$ e $14.4 cm$. Calcola il perimetro e l'area della base della piramide.

I dati del problema:

  1. $a=15.6cm$
  2. $h=14.4cm$
  3. $2p=?\quad S_{base}=?$

Calcoliamo il raggio della circonferenza inscritta nella base: $$ r=\sqrt{a^2-h^2}=r=\sqrt{15.6^2-14.4^2}=r=\sqrt{243.36-207.36}=\sqrt{36}=6cm $$ e il lato della base quadrata: $$ l=r\cdot 2=6\cdot 2=12cm $$ Il perimetro, dunque, sarà: $$ 2p=l\cdot 4=12\cdot 4=48cm $$ e la superficie di base: $$ S_{base}=l^2=12^2=144cm^2 $$

Esempio

Una piramide avente per base un rettangolo ha l'altezza che cade nel punto d'incontro delle diagonali ed è i $6/5$ della dimensione minore del rettangolo. Sapendo che la somma e la differenza delle due dimensioni di base sono rispettivamente $126 cm$ e $66 cm$, calcola l'area della superficie totale della piramide.

Indicando con $h$ l'altezza della piramide, $l_1$ il lato minore del rettangolo, $l_2$ il lato maggiore del rettangolo, $s$ la somma delle due dimensioni e $d$ la loro differenza, i dati del problema sono:

  1. $h=\frac{6}{5}\cdot l_1$
  2. $s=126cm$
  3. $d=66cm$
  4. $S_{tot}=?$

Sottraiamo $d$ da $s$ per eliminare la differenza tra le due dimensioni: $$ s-d=126-66= 60cm $$ Poi, dividiamo a metà il risultato per ottenere una delle due dimensioni (in questo caso il lato minore): $$ l_1=60:2= 30cm $$ Se al lato minore aggiungiamo la differenza, troviamo il lato maggiore $l_2$: $$ l_2=30+66= 96cm $$ A questo punto, avendo base e altezza del rettangolo, possiamo trovarci la lunghezza della diagonale $d$ applicando il teorema di Pitagora: $$ d=\sqrt{l_2^2+l_1^2}=\sqrt{96^2+30^2}=\sqrt{9216+900}=\sqrt{10116}=100.57cm $$ $$ h=\frac{6}{5}\cdot l_1=\frac{6}{5}\cdot 30=36cm $$ L'area di base è: $$ S_{base}=l_1\cdot l_2=30\cdot 96=2880cm^2 $$ Calcoliamo apotema e perimetro: $$ a=\sqrt{h^2+\bigg(\frac{l_2}{2}\bigg)^2}= \sqrt{36^2+\bigg(\frac{96}{2}\bigg)^2}=\sqrt{1296+48^2}\sqrt{1296+2304}=\sqrt{3600}=60cm $$ $$ 2p=2(l_1+l_2)=2(30+96)=2\cdot 126=252cm $$ Finalmente possiamo calcolare la superficie laterale: $$ S_{lat}=\frac{2p\cdot a}{2}=\frac{252\cdot 60}{2}=7560cm^2 $$ Infine, l'area totale sarà: $$ S_{tot}=S_{base}+S_{lat}=2880+7560=10440cm^2 $$

Esercizi sulle piramidi rette e regolari

  1. Un prisma e una piramide regolare quadrangolare hanno la base in comune; sapendo che l'area della superficie laterale della piramide è $1125 dm^2$, che lo spigolo di base è $5/8$ dell'apotema e che l'altezza del prisma è il quadruplo di quella dello spigolo di base, calcola l'area della superficie laterale del prisma.
  2. Una piramide quadrangolare regolare ha l'area della superficie totale di $800cm^2$; sapendo che l'area di base è $8/17$ dell'area della superficie laterale, calcola il volume.
  3. Una piramide a base ottagonale ha l'area laterale di $2288cm^2$ e l'apotema di $26 cm$. Calcola il lato di base.

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