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Il logaritmo, la funzione logaritmica e le proprietà In evidenza

L'uguaglianza:

$$a^x=b$$

nella quale $a$ e $b$ rappresentano due numeri reali noti ed $x$ un'incognita, è un'equazione di tipo esponenziale.

Dai grafici della funzione esponenziale appare chiaramente che sotto le condizioni $a>0,\quad a\neq 1,\quad b>0$ l'equazione $a^x=b$ ammette un'unica soluzione; esiste cioè un numero $x$ che messo ad esponente ad $a$ mi ritorna $b$. Questo numero viene detto logaritmo in base $a$ di $b$ e viene simbolicamente così rappresentato:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{x=\log_b{a}}$$

I numeri $a$ e $b$ vengono rispettivamente chiamati base ed argomento del logaritmo dato.

Riportiamo qui di seguito alcuni esempi di calcoli di logaritmi i cui valori posso essere determinati mentalmente:

  1. $\log_2{32}=5;\quad\quad\log_3{81}=4;\quad\quad\log_{10}{100}=2;\quad\quad\log_{\frac{2}{3}}{\frac{8}{27}}=3$.
  2. $\log_{2}{\frac{1}{8}}=-3;\quad\quad\log_{5}{\frac{1}{5}}=-1;\quad\quad\log_{\frac{2}{3}}{\frac{9}{4}}=-2$.
  3. $\log_5{5}=1;\quad\quad\log_{0,8}{0,8}=1;\quad\quad\log_{3}{1}=0;\quad\quad\log_{\frac{1}{3}}{1}=0$.
  4. $\log_{8}{2}=\frac{1}{3};\quad\quad\log_{4}{8}=\frac{3}{2};\quad\quad\log_{9}{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{2}$.

Non è invece possibile calcolare mentalmente quanto vale, ad esempio, il $\log_{10}325$, il $\log_{5}754$, il $\log_{0,3}8$, ecc.; i valori di questi logaritmi sono calcolabili mediante procedimenti che illustreremo qui. Per ora, ci limitiamo a far presente che:

il logaritmo di un numero in una data base esiste soltanto se il numero e la base sono positivi e la base è diversa da $1$.

  1. Il $\log_3{x-5}$ esiste se e solo se:
  2. $\quad x-5>0$ ossia se $x>5$.
  3. Il $\log_{10}{16-x^2}$ esiste se e solo se:
  4. $\quad 16-x^2>0$ ossia se $-4 < x < 4$.
  5. Il $\log_{x}{3-x}$ esiste se e solo se:
  6. $\quad \left\{ \begin{array}{l} 3-x>0\\ x>0\\ x\neq 1\end{array}\right.\quad$ ossia se $0 < x < 1\ \vee\ 1 < x < 3$.

La funzione logaritmica

Se $a$ è un numero positivo diverso da $1$ l'espressione $\log_a{x}$ (con $x>0$) varia al variare di $x$; posto $y=\log_a x$, si ottiene una funzione che viene detta funzione logaritmica.

Così come abbiamo fatto per la funzione esponenziale, per individuare le caratteristiche della funzione logaritmica ci limitiamo a rappresentarla graficamente per punti nel piano cartesiano, distinguendo i due casi $a>1$ e $0 < a < 1$. Nella figura qui in basso è rappresentata

Grafico del logaritmo con base maggiore di uno

Nella figura seguente, invece, la funzione $y=\log_{\frac{1}{2}}x$.

Grafico del logaritmo con base compresa tra zero e uno

Tutte le funzioni logaritmiche $y=\log_a x$ che hanno la base $a$ maggiore di $1$ hanno l'andamento della prima figura (sono crescenti, sono negative per $0 < x < 1$ e positive per $x>1$, tendono a $-\infty$ per $x$ tendente a $0$ e a $+\infty$ per $x$ tendente a $+\infty$); tutte quelle che hanno la base $a$ compresa tra $0$ e $1$ hanno l'andamento della seconda figura (sono decrescenti, sono positive per $0 < x < 1$ e negative per $x>1$, tendono a $+\infty$ per $x$ tendente a $0$ e a $-\infty$ per $x$ tendente a $+\infty$).

Proprietà dei logaritmi

I logaritmi godono di alcune proprietà:

  1. Il logaritmo di un prodotto di fattori positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori; cioè:

    $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\log_a(b\cdot c\cdot d\cdot\dots)=\log_a b+\log_a c+\log_a d+\dots}$$

  2. Il logaritmo di un quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore; cioè:

    $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\log_a\frac{b}{c}=\log_a b-\log_a c}$$

  3. Il logaritmo della potenza di un numero positivo, ad esponente reale qualunque, è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base della potenza; cioè:

    $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{log_a b^c=c\cdot\log_a b}$$

  4. Il logaritmo in base $a$ di un numero $b$ diverso da $1$, è uguale al reciproco del logaritmo in base $b$ del numero $a$; cioè:

    $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\log_a b=\frac{1}{\log_b a}}$$

  5. Il logaritmo in base $a$ di un numero $N$ è uguale al quoziente tra il logaritmo dello stesso numero $N$ in un'altra base $b$ e il logaritmo di $a$ in base $b$ (proprietà del cambio di base); cioè:

    $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\log_a N=\frac{\log_b N}{\log_b a}}$$

Esempi sull'utilizzo delle proprietà dei logaritmi:

  1. $\log_a(2^5\cdot 3)=\log_a 2^5+\log_a 3=5\log_a 2+\log_a 3$.
  2. $\log_a\sqrt[3]{\frac{7}{5}}=\log_a\left(\frac{7}{5}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}\log_a\frac{7}{5}=\frac{1}{3}(\log_a 7-\log_a 5)$.
  3. $\log_2 8=\frac{1}{\log_8 2}\quad (\mbox{infatti } \log_2 8=3 \mbox{ e } \log_8 2=\frac{1}{3})$.
  4. $\log_6 25=\frac{\log_{10} 25}{\log_{10} 6}$.
  5. $2\log_2{10}+\log_2 80-3\log_2 5=\log_2 10^2+\log_2 80-\log_2 5^3=\log_2 \frac{10^2\cdot 80}{5^3}=\log_2 64=6$.
  6. $\log_2\frac{x(8-x)}{(x+1)^2}=\log_3 x+\log_3 (8-x)-2\log_3 (x+1)$.
  7. $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\mbox{(con } x>0,\quad x < 8,\quad x >-1\quad\mbox{e quindi } 0 < x < 8)$.

Logaritmi decimali e logaritmi naturali

Tra tutti i logaritmi assumono particolare importanza quello in base $10$, che viene comunemente chiamato logaritmo decimale o di Briggs (e si indica con $\log$), e quello in base $e$, che viene comunemente detto logaritmo naturale o di Nepero e si indica con $\ln$ ($e$ è un numero irrazionale che ha il seguente valore approssimato:

$$e=2,718281828$$

Le tavole logaritmiche che forniscono i logaritmi in base $10$ sono comunque utilizzabili anche per il calcolo di logaritmi in base $e$ (come del resto di logaritmi in qualsiasi base); infatti, per la proprietà relativa al cambiamento di base, il logaritmo in base $e$ di un qualsiasi numero $x$ positivo è:

$$\ln x=\frac{\log x}{\log e}$$

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