Scostamenti

Scostamento medio assoluto dalla media

Una misura della variabilità che tiene conto di tutti i valori ed è molto semplice da calcolare è lo scarto semplice medio assoluto

Lo scostamento medio assoluto di una distribuzione dalla media aritmetica $S(\overline{x})$ è una misura di variabilità che tiene conto di tutti i valori della distribuzione e si calcola in modo semplice facendo la media aritmetica degli scarti assoluti dei singoli dati dalla loro media.

Nel caso di $n$ dati non raggruppati si ha:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{S(\overline{x})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n|x_i-\overline{x}|}{n}}$$

Nel caso di $n$ dati raggruppati in $k$ classi ciascuna con generica frequenza $f_i$:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{S(\overline{x})=\frac{\sum\limits_{i=1}^k|x_i-\overline{x}|f_i}{n}}$$

Scostamento medio assoluto dalla mediana

Quando si vuole calcolare lo scostamento medio assoluto rispetto alla mediana si procede in modo analogo a quanto fatto per la media aritmetica sostituendo la mediana $\widetilde{x}$ al posto del valor medio $\overline{x}$:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{S(\widetilde{x})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n|x_i-\widetilde{x}|}{n}}$$

Lo scarto medio assoluto dalla mediana è sempre minore dallo scarto medio assoluto dalla media. Sussiste, dunque, la seguente relazione: $$S(\widetilde{x}) < S(\overline{x})$$

Calcolo degli scostamenti medi assoluti dalla media e dalla mediana

Calcoliamo entrambi gli scostamenti medi assoluti del seguente insieme di dati $$2,5,4,7,2,8,9$$

Innanzitutto è necessario calcolare la media e, dopo aver ordinato i dati (2,2,4,5,7,8,9), la mediana: $$\begin{eqnarray} \overline{x}&=&\frac{2+5+4+7+2+8+9}{7}=5.29\\ \widetilde{x}&=& 5\end{eqnarray}$$

Gli scostamenti dalla media e dalla mediana sono rispettivamente: $$\begin{eqnarray} S(\overline{x}) &=& \frac{|2-5.29|+|5-5.29|+|4-5.29|+|7-5.29|+|2-5.29|+|8-5.29|+|9-5.29|}{7}=2.33\\ S(\widetilde{x}) &=& \frac{|2-5|+|5-5|+|4-5|+|7-5|+|2-5|+|8-5|+|9-5|}{7}=2.29\end{eqnarray}$$

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