Intervalli di confidenza per il rapporto di due varianze

Per confrontare fra loro due varianze si considera il loro rapporto $$\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$$

affermando che esse sono uguali se tale rapporto è 1; di solito però, non si conoscono le varianze delle popolazioni studiate, per cui bisogna procedere con un confronto tra le varianza campionarie.

Si considerano due popolazioni avente distribuzione normale e si estraggono da queste popolazioni campioni indipendenti di ampiezza $n_1$ e $n_2$ rispettivamente. Indichiamo rispettivamente con $S_1^2$ e $S_2^2$ le varianze campionarie delle popolazioni.

In base a quello detto in questa lezione, la statistica $$F=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}$$ ha la distribuzione F di Fisher di parametri $\nu_1=n_1-1$ e $\nu_2=n_2-1$.

Osservando che la distribuzione F non è simmetrica e utilizzando lo stesso procedimento visto per ricavare gli intervalli di confidenza per la varianza, si può asserire con probabilità $1-\alpha$ vale la seguente disuguaglianza: $$F_{1-\frac{\alpha}{2}} < \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} < F_\frac{\alpha}{2}$$

Risolvendo questa disuguaglianza rispetto a $\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}$ si ha: $$\frac{S_2^2}{S_1^2}F_{1-\frac{\alpha}{2}} < \frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2} < \frac{S_2^2}{S_1^2}F_{\frac{\alpha}{2}}$$ e prendendo i reciproci dei tre termini si ha: $$\frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}} < \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < \frac{S_1^2}{S_2^2}\frac{1}{F_{1-\frac{\alpha}{2}}}$$

Pertanto, estraendo due campioni indipendenti di ampiezza $n_1$ e $n_2$ da due popolazioni normali e indicando con $s_1^2$ e $s_2^2$ le varianze campionarie (con $s_1^2 > s_2^2$), si ottiene l'intervallo di confidenza per il rapporto di due varianze $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ con grado di fiducia $(1-\alpha)\cdot 100\%$

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}} < \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < \frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{1}{F_{1-\frac{\alpha}{2}}}}$$

Calcolo valori critici distribuzione F di Fisher

I valori $F_\frac{\alpha}{2}$ possono essere letti sulle tavola della distribuzione $F$ in corrispondeza ai gradi di libertà $\nu_1=n_1-1$ e $\nu_2=n_2-1$; i valori $F_{1-\frac{\alpha}{2}}$ si possono ricavare dalla stessa tavola facendo uso della formula seguente:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{F_{1-\frac{\alpha}{2}}(\nu_1,\nu_2)=\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}(\nu_2,\nu_1)}}}$$

Vedi esempio di calcolo qui sotto.

Calcolo intervallo di confidenza per il rapporto tra due varianze

Si vuole studiare la variabilità dei diametri delle sfere d'acciaio prodotte da due diverse macchine. A tale scopo si estraggono due campioni di sfere prodotte dalle due macchine, di ampiezza rispettivamente $n_1=11$ e $n_2=16$; le varianze dei due campioni sono $s_1^2=0.40$ e $s_2^2=0.35$. Assumendo che le due popolazioni da cui vengono estratti i campioni abbiano distribuzione normale, trovare l'intervallo di confidenza al 90% per il rapporto fra le varianze delle popolazioni.

Svolgimento

I dati del problema sono i seguenti: $$\begin{array}{l} \nu_1=n_1-1=10 & \nu_2=n_2-1=15\\ s_1^2=0.40 & s_2^2=0.35\end{array}$$

Per il grado di fiducia del 90%, si ha $1-\alpha=0.90$, e quindi $\frac{\alpha}{2}=0.05$. Facendo uso delle tavole e della formula per il calcolo dei valori critici della distribuzione di Fisher esposta sopra, si ha $$\begin{array}{l} F_\frac{\alpha}{2}(10,15) = F_{0.05}(10,15) = 2.54\\ F_{1-\frac{\alpha}{2}}(10,15) = F_{0.95}(10,15)=\frac{1}{F_{0.05}(15,10)}=\frac{1}{2.85}=0.35\end{array}$$

(apri tavola 1 per il calcolo di $F_{0.95}(10,15)$  e tavola 2 per il calcolo di $F_{0.05}(15,10)$ ).

Dunque, l'intervallo di confidenza richiesto sarà $$\begin{eqnarray} \frac{\frac{0.40}{0.35}}{2.54} < &\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}& < \frac{\frac{0.40}{0.35}}{0.35}\\ 0.44 < &\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}& < 3.27\end{eqnarray}$$

Vai alla sezione con gli esercizi svolti sul calcolo degli intervalli di confidenza

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