Tra i modi per ricercare gli stimatori di parametri reali della popolazione, ci sono i metodi di stima puntuale. Iniziamo a descrivere come calcolare uno stimatore puntuale mediante il metodo dei momenti.
A tale scopo, consideriamo un campione $X_1,\dots , X_n$ con funzione di densità congiunta $f(x_1,\dots ,x_n;\theta_1 ,\dots ,\theta_k)$ dipendente (oltre che dalle n variabili) da $k$ parametri reali.
Eguagliando il momento di ordine $r$ $$\mu_r'=E(X^r)$$ al generico momento campionario di ordine $j$ $$M_j'=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^j$$ per $r=1,\dots ,k$, si ottengono k equazioni al variare dei k parametri incogniti. In formule, queste equazioni sono:
$$\begin{cases}\mu_1=M_1'\\ \vdots = \vdots\\ \mu_k=M_k'\end{cases}$$
Risolvendo il sistema si determinano le soluzioni. Se essa è unica, viene scelta come stimatore dei parametri $\theta_1 ,\dots ,\theta_k$.
Supponiamo di avere il campione $X_1,\dots , X_n$ dove ciascun $X_i$ ha distribuzione normale con media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$. I parametri da stimare sono $\mu$ e $\sigma$: $$(\theta_1,\theta_2)=(\mu,\sigma)$$
Per trovare i valori di stima puntuale $\theta_1$ e $\theta_2$ necessitiamo di due equazioni date proprio dai momenti di ordine uno e due. Il momento di ordine uno per una distribuzione normale, ossia il valore atteso, coincide con la media $\mu$: $$\mu_1'=E(X)=\mu$$ mentre il momento campionario di ordine 1 è la media campionaria: $$M_1'= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$$
La prima equazione dei momenti è: $$\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\quad\large\star$$ che chiameremo $\overline{X}_n$.
Consideriamo adesso il momento di secondo ordine, ossia $E(X^2)$. Per calcolarlo, utilizziamo la definizione di varianza ed essendo $Var(X)=\sigma^2$ si ha: $$\begin{array}{l} Var(X)=E(X^2)-E(X)^2\\ \sigma^2=E(X^2)-\mu^2\\ E(X^2)=\sigma^2+\mu^2\end{array}$$
Il momento campionario di ordine 2 è: $$M_2'=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2$$
Analogamente a quanto fatto per la prima equazione, eguagliamo le precedenti quantità otteniamo la seconda equazione dei momenti: $$\sigma^2+\mu^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2\quad\large\star\large\star$$
Sostituiamo $\mu=\overline{X}_n$ nella $\large\star\large\star$ e semplifichiamo per ottenere lo stimatore puntuale dello scarto quadratico medio: $$\begin{array}{l} \sigma^2+\overline{X}_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2\\ \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2-\overline{X}_n^2\\ \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i^2-n\cdot\frac{\overline{X}_n^2}{n} \sigma^2=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nX_i^2-n\overline{X}_n^2\right)\\ \sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2\\ \sigma =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2}{n}} \end{array}$$
Esempio 2
Supponiamo adesso che ciascun variabile del campione $X_1,\dots , X_n$ abbia distribuzione uniforme nell'intervallo $[\mu-\sqrt{3}\sigma ,\mu+\sqrt{3}\sigma]$. I parametri da stimare sono sempre $\mu$ e $\sigma$: $$(\theta_1,\theta_2)=(\mu,\sigma)$$
Il momento di ordine 1 è la media $\mu$ mentre il momento campionario di ordine 1 è $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$, da cui la prima equazione: $$\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i=\overline{X}_n$$
Si verifica facilmente che la seconda equazione dei momenti è analoga alla $\large\star\large\star$, per cui semplificando otteniamo la stessa stima puntale della deviazione standard: $$\sigma =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2}{n}}$$
