Legge dei Grandi Numeri e Teorema del Limite Centrale (TLC)

La Legge dei Grandi Numeri

La Legge dei Grandi Numeri dice che se $X_1,X_2,\dots ,X_n$ sono campioni casuali indipendenti e identicamente distribuiti con $E(X_i)=\mu_X$ e $VAR(X_i)=\sigma_X^2 < \infty$, per ogni costante c>0 si ha:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{P(|\overline{X}-\mu_X| < c)\rightarrow 1\quad\mbox{per } n\rightarrow\infty}$$

In altre parole, la legge dei grandi numeri afferma che, sotto l'ipotesi che i campioni scelti siano indipendenti e con la stessa distribuzione, la probabilità che la media campionaria $\overline{X}$ coincida con la media della popolazione $\mu_X$ si avvicina sempre più a 1 all'aumentare del numero dei campioni $n$.

Teorema del Limite Centrale (TLC)

Il Teorema del Limite Centrale o TLC afferma che sotto le stesse ipotesi della legge dei grandi numeri, la distribuzione del numero aleatorio $(\overline{X}-\mu_X)/\sigma_{\overline{X}}$ (dove $\sigma_{\overline{X}}^2=\sigma_X^2/n$) si può approssimare alla distribuzione normale standard.

In formule si ha:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\frac{\overline{X}-\mu_X}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{\overline{X}-\mu_X}{\frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)\quad\mbox{per } n\rightarrow\infty}$$

Osserviamo un'analogia con quanto detto nel paragrafo della distribuzione normale. Sappiamo, infatti, che la distribuzione di $\overline{X}$ è esattamente una distribuzione normale di parametri $\mu_X$ e $\frac{\sigma_X^2}{n}$ quando i vari $X_i$ hanno distribuzione normale di parametri $\mu_X$ e $\sigma_X^2$ cioè:

$$X_i\sim N(\mu_X,\sigma_X^2)\ \forall i\quad\Rightarrow\quad \overline{X}=\frac{X_1+X_2+\dots +X_n}{n}\sim N\left(\mu_X,\frac{\sigma_X^2}{n}\right)$$

Il teorema del limite centrale dice che questo stesso risultato è approssimativamente vero quando $n$ è "abbastanza grande" anche se $X_1,X_2,\dots ,X_n$ non sono normalmente distribuiti.

Ma cosa si intende per "abbastanza grande"? Quanto grande deve essere n affinchè la distribuzione di $\overline{X}$ è approssimativamente normale? La risposta a questa domanda varia in base al tipo di distribuzione degli $X_i$. Da un lato, se tutti gli $X_i$ sono normalmente distribuiti, allora $\overline{X}$ ha esattamente distribuzione normale per ogni valore di n. Dall'altro lato, se gli $X_i$ hanno distribuzione ben diversa da quella normale, allora questa approssimazione richiede che n sia almeno pari a 30.

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