Test sulla bontà di adattamento

Il chi-quadro, non si utilizza solo per effettuare un test di ipotesi sull'indipendenza tra due caratteri come visto QUI. E' pure usato per verificare la bontà dell'adattamento ad una distribuzione teorica. In altri termini, il test che viene condotto consiste nel confrontare le frequenze empiriche, osservate, e le frequenze teoriche, ipotizzate, per valutare la bontà dell'accordo tra due insiemi di valori.

Le ipotesi del test possono essere formulate come segue: $$\begin{cases} H_0: & \mbox{I dati si adattano alla distribuzione teorica}\\ H_1: & \mbox{I dati non si adattano alla distribuzione teorica}\end{cases}$$

Indicando con

  • $X$ la variabile aleatoria con distribuzione di probabilità da verificare
  • $n$ la numerosità del campione
  • $k$ il numero delle modalità o delle classi della distribuzione empirica
  • $f_i,\ i=1\dots k$ le frequenze osservate di ciascuna modalità
  • $p_i,\ i=1\dots k$ le probabilità teoriche di ciascuna modalità

possiamo calcolare le frequenze teoriche o attese per ciascuna modalità: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\hat{f_i}=n\cdot p_i}$$

Attenzione!

Per applicare correttamente il test occorre che nessuna frequenza teorica sia minore di 5. Quindi, se dal calcolo risulta che qualche frequenza teorica è minore di 5, bisogna raggruppare due o più modalità.

La statistica test da utilizzare è dunque la seguente: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(f_i-\hat{f_i})^2}{\hat{f_i}}}$$

A questo punto, dalle tavole della distribuzione chi-quadro, ricaviamo il valore critico con $\nu=k-m-1$ gradi di libertà (dove $m$ è il numero di parametri della distribuzione stimati) e livello di significatività assegnato $\alpha$ e lo indichiamo con $\chi_{\nu,\ \alpha}^2$.

L'esito del test è: rifiuto $H_0$ se $\chi^2\geq\chi_{\nu,\ \alpha}^2$.

Prima di fare un esempio pratico, osserviamo che devono essere soddisfatte le seguenti condizioni sulle probabilità teoriche e sulle frequenze osservate: $$\sum_{i=1}^kp_i=1\quad\quad\sum_{i=1}^kf_i=n$$

Esercizio sul test chi-quadro di adattamento

Due anni fa il responsabile di un supermercato, con riferimento ad un certo prodotto, ha rilevato che le marche A e C erano ugualmente preferite, che il 33% preferiva la marca B e il 27% la marca D. Una recente indagine su un campione casuale di clienti ha prodotto i seguenti risultati: A=44, B=70, C=28, D=50. C'è stata una variazione nelle preferenze dei consumatori?

Le ipotesi da sottoporre a verifica sono: $$\begin{cases} H_0: & \mbox{Non c'è stata variazione nelle preferenze dei consumatori}\\ H_1: & \mbox{C'è stata variazione nelle preferenze dei consumatori}\end{cases}$$

La tabella seguente riassume tutti i passaggi necessari per il calcolo della statistica $\chi^2$.

Calcoli per un test chi-quadro di adattamento

Inoltre, essendo $k-1=4-1=3$ i gradi di libertà e scegliendo $\alpha=0.05$ come livello di significatività del test, il valore critico letto dalle tavole della distribuzione chi-quadro è: $$\chi^2_{3,0.05}=7.81$$

Dato che $\chi=4.39 < \chi^2_{3,0.05}=7.81$, si conclude dicendo che non ci sono prove sufficienti per rifiutare $H_0$ e che quindi non c'è stata variazione nelle preferenze dei consumatori.

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