Variabili aleatorie

Una variabile aleatoria è una variabile che può assumere diversi valori a seconda del verificarsi o meno di un certo fenomeno casuale. Più rigorosamente diremo che:

Una variabile aleatoria o casuale è una funzione reale X definita sullo spazio campione S

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{X:S\rightarrow R}$$

Essa associa ad ogni possibile risultato di un esperimento (elemento dello spazio campione S), un numero reale.

Esempio 1 di variabile aleatoria

Si effettua un lancio di una moneta. Lo spazio campione è: $$S={T,C}$$ Si definisce variabile aleatoria X la seguente: $$X(C)=m\quad\quad X(T)=n\quad\quad\quad m,n\in\mathbb R\quad m\neq n$$

Esempio 2 di variabile aleatoria

Si effettuano due lanci di una moneta. Lo spazio campione è: $$S={TT,CC,TC,CT}$$ Ad ogni elemento dello spazio campione possiamo associare un numero reale che indica il numero delle volte che esce T: $$X(TT)=2\quad\quad X(CC)=0\quad\quad X(TC)=1\quad\quad X(CT)=1$$

X così definita è una variabile aleatoria. Osserviamo che tale definizione non è unica, infatti possiamo definire X come il quadrato del numero delle teste, anziché il numero delle teste ecc.

Variabili discrete e continue

A seconda del numero di valori che possono assumere, si distinguono due tipi di variabili aleatorie:

  1. variabile aleatoria discreta: assume solo un numero finito di valori o un'infinità numerabile;
  2. variabile aleatoria continua: assume un'infinità non numerabile di valori.

Ricordiamo che per un insieme numerabile è un insieme che si può mettere in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali $\mathbb N$.

Le variabili aleatorie degli esempi 1 e 2 sono variabili discrete.

Poichè quello a cui siamo interessati è la probabilità che una variabile aleatoria assume certi valori, facciamo la seguente osservazione:

Se X è una variabile aleatoria, si usano le seguenti notazioni:

Evento in lettere Evento in simboli Probabilità dell'evento
X assume il valore a $X=a$ $P(X=a)$
X assume valori compresi nell'intervallo (a,b) $a < X < b$ $P(a < X < b)$
X assume valori minori o uguali a c $X\le c$ $P(X\le c)$

La probabilità dell'evento contrario a $X\le c$, ossia, la probabilità che X assuma un valore maggiore di c, si calcola come segue:

$$P(X>c)=1-P(X\le c)$$

Esempio di variabile aleatoria discreta

Si consideri la variabile aleatoria discreta X, definita come il numero di teste T in due lanci di una moneta; si ha ad esempio: $$\begin{array}{l} P(X=2)=\frac{1}{4}\quad\quad & P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\ P(1 < X < 2)=0\quad\quad & P(1 < X \le 2)=\frac{1}{4}\quad\quad & P(0 \le X \le 2)=1\end{array}$$

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