Integrale di convoluzione

Supponiamo di avere un vettore aleatorio $(X,Y)$ e la sua funzione di densità congiunta $f(x,y)$. Supponiamo, inoltre, che $X$ e $Y$ siano indipendenti, cioè $f(x,y)=f_1(x)\cdot f_2(y)$. Determiniamo la distribuzione del numero aleatorio somma di $X$ e $Y$, $Z=X+Y$, nonchè la sua densità congiunta.

La sua funzione di ripartizione sarà:

$$F(z)=P(Z\le z)=P(X+Y\le z)$$

che graficamente può essere rappresentata nel seguente modo (vedi area in azzurro):

Rappresentazione probabilità nel piano cartesiano

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{}$$

Facendo variare $x\in (-\infty,+\infty)$, dal fatto che $x+y\le z$ segue che $y\le z-x$, per cui $y\in (-\infty,z-x)$. Dunque:

$$P(X+Y\le z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)\ dx\ dy$$

Effettuando il cambio di variabili $x+y=t$, dal fatto che $y\in (-\infty,z-x)$ risulta $t\in (-\infty,z)$. Riscriviamo l'integrale tenendo conto di quanto appena fatto:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^zf(x,t-x)\ dx\ dt$$

il quale, per l'indipendenza tra $X$ e $Y$ risulta:

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^zf_1(x)f_2(t-x)\ dx\ dt=\int_{-\infty}^z\underbrace{\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(t-x)\ dx\right)}_{\text{f(z) = densità congiunta di Z}} dt=$$

L'integrale di convoluzione è dato proprio dalla $f(z)$ ed è così definito:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(t-x)\ dx = \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(t-x)f_2(y)\ dy}$$

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