Vettori aleatori continui

Un vettore aleatorio $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ con densità di probabilità $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ è continuo se $\forall (x_1,x_2,\dots ,x_n)\in\mathbb R$ si ha:

  1. $P(X_1=x_1,X_2=x_2,\dots ,X_n=x_n)=0$;
  2. $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)\ge 0$ tale che $$P[(X_1,X_2,\dots ,X_n)\in C]=\iint\dots\int_C f(x_1,x_2,\dots ,x_n)\ dx_1\ dx_2\dots\ dx_n$$

 

La $f$ si chiama anche densità congiunta del numero aleatorio $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ e gode della seguente proprietà:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\int_{-\infty}^{+\infty}\dots\int_{-\infty}^{+\infty} f(x_1,x_2,\dots ,x_n)\ dx_1\ dx_2\dots\ dx_n=1}$$

Come per i vettori aleatori discreti, anche per i vettori aleatori continui possiamo risalire alle densità marginali avendo la densità congiunta. Infatti, supponiamo di avere il vettore aleatorio a 2 variabili $(X,Y)$, la cui funzione di densità congiunta è $f(x,y)$. Allora le funzioni di densità marginali sono date da:

$$\begin{eqnarray} f_1(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\ dy\\ f_2(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\ dx\end{eqnarray}$$

2 numeri aleatori $X$ e $Y$ sono indipendenti se la densità congiunta coincide con il prodotto delle densità marginali.

$$f(x,y)=f_1(x)\cdot f_2(y)$$

Se due numeri aleatori sono indipendenti, sappiamo che sono pure incorrelati ($COV(X,Y)=0$). Attenzione! Non vale il viceversa di questo risultato (vedi controesempio).

 

<h2">Calcolo varianza e covarianza tra due variabili aleatorie note le densità marginali

Siano $X$ e $Y$ due numeri aleatori con funzione di densità rispettivamente $f_1(x)$ e $f_2(y)$. Sappiamo che la covarianza è data da:

$$COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$

Inoltre, per definizione di valore atteso di una variabile aleatoria continua, ricordiamo che:

$$\begin{eqnarray} E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_1(x)\ dx\\ E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_2(y)\ dy\end{eqnarray}$$

Poi, supponendo che $f(x,y)$ sia la densità congiunta del vettore aleatorio $(X,Y)$, si ha:

$$E(XY)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)\ dx\ dy$$

Se invece volessimo calcolare la varianza di $X$, possiamo usare la seguente formula:

$$VAR(X)=E(X^2)-E^2(X)$$

dove $$E(X^2)=E(XX)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_1(x,y)\ dx$$.

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